Номер 1.61, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.61*. $y = \begin{cases} 2 - \sqrt{4 - |x|}, & \text{если } |x| \le 4 \\ \frac{8}{x}, & \text{если } |x| > 4 \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция задана кусочно. Первый участок $y = 2 - \sqrt{4 - |x|}$ определен при условии $4 - |x| \ge 0$, что равносильно $|x| \le 4$. Это совпадает с условием, при котором задана эта часть функции. Второй участок $y = \frac{8}{x}$ определен для всех $x \ne 0$. Условие $|x| > 4$ (то есть $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$) удовлетворяет этому. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Исследование на четность

Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем $y(-x)$:

• При $|x| \le 4$, имеем $|-x| = |x| \le 4$, поэтому $y(-x) = 2 - \sqrt{4 - |-x|} = 2 - \sqrt{4 - |x|} = y(x)$.
• При $|x| > 4$, имеем $|-x| = |x| > 4$, поэтому $y(-x) = \frac{8}{-x} = - \frac{8}{x} = -y(x)$.

3. Точки пересечения с осями координат

- Пересечение с осью Oy (x=0): Поскольку $|0| \le 4$, используем первую формулу: $y(0) = 2 - \sqrt{4 - |0|} = 2 - 2 = 0$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$. - Пересечение с осью Ox (y=0): Рассмотрим два случая: 1. Если $|x| \le 4$, то $2 - \sqrt{4 - |x|} = 0 \implies \sqrt{4 - |x|} = 2 \implies 4 - |x| = 4 \implies |x| = 0 \implies x = 0$. 2. Если $|x| > 4$, то $\frac{8}{x} = 0$. Это уравнение не имеет решений. Единственная точка пересечения с осью Ox: $(0, 0)$.

4. Исследование на непрерывность и асимптоты

Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, -4)$, $(-4, 4)$ и $(4, \infty)$ как композиция элементарных функций. Исследуем поведение в точках "стыка" $x = -4$ и $x = 4$. - В точке $x=4$: $\lim_{x \to 4^-} y(x) = \lim_{x \to 4^-} (2 - \sqrt{4 - |x|}) = 2 - \sqrt{4-4} = 2$. $\lim_{x \to 4^+} y(x) = \lim_{x \to 4^+} \frac{8}{x} = \frac{8}{4} = 2$. $y(4) = 2 - \sqrt{4-|4|} = 2$. Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна в $x=4$. - В точке $x=-4$: $\lim_{x \to -4^-} y(x) = \lim_{x \to -4^-} \frac{8}{x} = \frac{8}{-4} = -2$. $\lim_{x \to -4^+} y(x) = \lim_{x \to -4^+} (2 - \sqrt{4 - |x|}) = 2 - \sqrt{4-|-4|} = 2$. $y(-4) = 2 - \sqrt{4-|-4|} = 2$. Поскольку пределы слева и справа не равны, функция имеет в точке $x=-4$ разрыв первого рода (скачок). Асимптоты: - Вертикальных асимптот нет, так как функция определена везде, а единственная точка разрыва является скачком. - Горизонтальные асимптоты: При $x \to \pm\infty$, функция задается формулой $y = \frac{8}{x}$. $\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{8}{x} = 0$. Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем производную функции на каждом участке: - При $x \in (0, 4)$: $y = 2 - \sqrt{4-x}$, $y' = \frac{1}{2\sqrt{4-x}} > 0$. Функция возрастает на $[0, 4]$. - При $x \in (-4, 0)$: $y = 2 - \sqrt{4+x}$, $y' = -\frac{1}{2\sqrt{4+x}} < 0$. Функция убывает на $[-4, 0]$. - При $|x| > 4$: $y = \frac{8}{x}$, $y' = -\frac{8}{x^2} < 0$. Функция убывает на $(-\infty, -4)$ и на $(4, \infty)$.Анализ точек экстремума: - В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$. - В точке $x=4$ функция переходит от возрастания к убыванию, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(4) = 2$. - В точке $x=-4$ функция убывает слева (до скачка) и убывает справа от точки. Однако, значение $y(-4)=2$, а $\lim_{x \to -4^-} y(x) = -2$ и на интервале $(-4, 0)$ функция убывает от 2. Следовательно, $x=-4$ также является точкой локального максимума. $y_{max} = y(-4) = 2$.

Ответ:

На основе проведенного анализа построим график функции.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция общего вида.
• Пересечение с осями: $(0; 0)$.
• Точка разрыва: $x=-4$ (скачок).
• Асимптота: $y=0$ (горизонтальная).
• Промежутки убывания: $(-\infty, -4)$, $[-4, 0]$, $(4, \infty)$.
• Промежуток возрастания: $[0, 4]$.
• Локальный минимум: $(0, 0)$.
• Локальные максимумы: $(-4, 2)$ и $(4, 2)$.