Номер 1.66, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.66. 1) $y = x^4 - 10x^2 + 9;$

2) $y = x^3 - 2x;$

3) $y = x^3 - 3x + 2;$

4) $y = x^4 + 2x^2 + 1.$

1) $y = x^4 - 10x^2 + 9$

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = (-x)^4 - 10(-x)^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9 = y(x)$.
Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x = 0 \implies y = 0^4 - 10 \cdot 0^2 + 9 = 9$. Точка пересечения $(0, 9)$.
С осью Ox: $y = 0 \implies x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$t^2 - 10t + 9 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.
Возвращаемся к замене:
$x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm 1$.
$x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0)$.

4. Асимптоты.
Функция является многочленом, поэтому вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот не имеет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = (x^4 - 10x^2 + 9)' = 4x^3 - 20x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 - 20x = 0 \implies 4x(x^2 - 5) = 0$.
Критические точки: $x=0$, $x=\sqrt{5}$, $x=-\sqrt{5}$.
Исследуем знаки производной на интервалах:
- $(-\infty; -\sqrt{5})$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(-\sqrt{5}; 0)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $(0; \sqrt{5})$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(\sqrt{5}; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
Точки экстремума:
$x = -\sqrt{5}$ — точка локального минимума. $y(-\sqrt{5}) = (-\sqrt{5})^4 - 10(-\sqrt{5})^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$.
$x = 0$ — точка локального максимума. $y(0) = 9$.
$x = \sqrt{5}$ — точка локального минимума. $y(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = (4x^3 - 20x)' = 12x^2 - 20$.
Найдем точки, где вторая производная равна нулю:
$12x^2 - 20 = 0 \implies x^2 = 20/12 = 5/3 \implies x = \pm\sqrt{5/3}$.
Исследуем знаки второй производной:
- $(-\infty; -\sqrt{5/3})$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
- $(-\sqrt{5/3}; \sqrt{5/3})$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).
- $(\sqrt{5/3}; +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
Точки $x = \pm\sqrt{5/3}$ являются точками перегиба.
$y(\pm\sqrt{5/3}) = (\frac{5}{3})^2 - 10(\frac{5}{3}) + 9 = \frac{25}{9} - \frac{50}{3} + 9 = \frac{25 - 150 + 81}{9} = -\frac{44}{9} \approx -4.89$.

7. График функции.

Ответ: Функция $y = x^4 - 10x^2 + 9$ четная, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Точки пересечения с осями: $(0, 9)$, $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$.
Функция убывает на $(-\infty; -\sqrt{5}] \cup [0; \sqrt{5}]$ и возрастает на $[-\sqrt{5}; 0] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$.
Локальный максимум: $(0, 9)$. Локальные минимумы: $(-\sqrt{5}, -16)$ и $(\sqrt{5}, -16)$.
График выпуклый вверх на $[-\sqrt{5/3}; \sqrt{5/3}]$ и выпуклый вниз на $(-\infty; -\sqrt{5/3}] \cup [\sqrt{5/3}; +\infty)$.
Точки перегиба: $(\pm\sqrt{5/3}, -44/9)$.

2) $y = x^3 - 2x$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -(x^3 - 2x) = -y(x)$.
Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $y=0 \implies x^3 - 2x = 0 \implies x(x^2 - 2) = 0$.
Корни: $x=0$, $x=\pm\sqrt{2}$.
Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = (x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2$.
$y' = 0 \implies 3x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2/3 \implies x = \pm\sqrt{2/3}$.
- $(-\infty; -\sqrt{2/3})$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $(-\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3})$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(\sqrt{2/3}; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
$x = -\sqrt{2/3}$ — точка локального максимума. $y(-\sqrt{2/3}) = (-\sqrt{2/3})^3 - 2(-\sqrt{2/3}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} + 2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{9} \approx 1.09$.
$x = \sqrt{2/3}$ — точка локального минимума. $y(\sqrt{2/3}) = -\frac{4\sqrt{6}}{9} \approx -1.09$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = (3x^2 - 2)' = 6x$.
$y'' = 0 \implies x=0$.
- $(-\infty; 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $(0; +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
$x=0$ — точка перегиба. $y(0)=0$. Точка перегиба $(0,0)$.

7. График функции.

Ответ: Функция $y = x^3 - 2x$ нечетная, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Точки пересечения с осями: $(0, 0)$, $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.
Функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{2/3}] \cup [\sqrt{2/3}; +\infty)$ и убывает на $[-\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3}]$.
Локальный максимум: $(-\sqrt{2/3}, 4\sqrt{6}/9)$. Локальный минимум: $(\sqrt{2/3}, -4\sqrt{6}/9)$.
График выпуклый вверх на $(-\infty; 0]$ и выпуклый вниз на $[0; +\infty)$.
Точка перегиба: $(0, 0)$.

3) $y = x^3 - 3x + 2$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$.
$y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y=2$. Точка $(0, 2)$.
С осью Ox: $y=0 \implies x^3 - 3x + 2 = 0$.
Подбором находим корень $x=1$. Разделим многочлен на $(x-1)$:
$x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)$.
Корни: $x=1$ (кратность 2) и $x=-2$.
Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$ (касание).

4. Асимптоты.
Асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
$y' = 0 \implies x^2-1=0 \implies x = \pm 1$.
- $(-\infty; -1)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $(-1; 1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
$x = -1$ — точка локального максимума. $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$.
$x = 1$ — точка локального минимума. $y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
$y'' = 0 \implies x=0$.
- $(-\infty; 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $(0; +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
$x=0$ — точка перегиба. $y(0)=2$. Точка перегиба $(0,2)$.

7. График функции.

Ответ: Функция $y = x^3 - 3x + 2$ общего вида, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Точки пересечения с осями: $(0, 2)$, $(-2, 0)$, $(1, 0)$ (касание).
Функция возрастает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и убывает на $[-1; 1]$.
Локальный максимум: $(-1, 4)$. Локальный минимум: $(1, 0)$.
График выпуклый вверх на $(-\infty; 0]$ и выпуклый вниз на $[0; +\infty)$.
Точка перегиба: $(0, 2)$.

4) $y = x^4 + 2x^2 + 1$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = (-x)^4 + 2(-x)^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 = y(x)$.
Функция является четной. График симметричен относительно оси Oy.
Также можно заметить, что $y = (x^2 + 1)^2$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = (0^2+1)^2 = 1$. Точка $(0, 1)$.
С осью Ox: $y=0 \implies (x^2+1)^2 = 0$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. Пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты.
Асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = (x^4 + 2x^2 + 1)' = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1)$.
$y' = 0 \implies 4x(x^2 + 1) = 0$. Так как $x^2+1 > 0$, единственная критическая точка $x=0$.
- $(-\infty; 0)$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(0; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
$x = 0$ — точка локального минимума. $y(0) = 1$. Так как $y(x) = (x^2+1)^2 \ge 1$ для всех $x$, это точка глобального минимума.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = (4x^3 + 4x)' = 12x^2 + 4$.
Так как $12x^2 \ge 0$, то $y'' = 12x^2 + 4 > 0$ для всех $x$.
График функции всегда выпуклый вниз. Точек перегиба нет.

7. График функции.

Ответ: Функция $y = x^4 + 2x^2 + 1$ четная, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$. Пересечений с Ox нет.
Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
Глобальный минимум: $(0, 1)$.
График функции всегда выпуклый вниз. Точек перегиба нет.