Номер 1.73, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.73. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3|x| = 0;$

2) $2p^2 + 3|p| - 7p = 0.$

1) $x^2 - 3|x| = 0$

Данное уравнение содержит переменную под знаком модуля. Для его решения воспользуемся свойством, что для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $x^2 = |x|^2$. Запишем уравнение в виде:

$|x|^2 - 3|x| = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $|x|$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.

Подставив $y$ в уравнение, получим:

$y^2 - 3y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y - 3) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = 3$.

Оба значения удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1. Если $y = 0$, то $|x| = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x = 0$.

2. Если $y = 3$, то $|x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: -3; 0; 3.

2) $2p^2 + 3|p| - 7p = 0$

Это уравнение также содержит переменную под знаком модуля. Для его решения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $p$.

Случай 1: $p \ge 0$.

В этом случае по определению модуля $|p| = p$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2p^2 + 3p - 7p = 0$

Упростим уравнение:

$2p^2 - 4p = 0$

Вынесем общий множитель $2p$ за скобки:

$2p(p - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $p_1 = 0$ и $p_2 = 2$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $p \ge 0$.

Корень $p_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge 0$, значит, является решением.

Корень $p_2 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$, значит, является решением.

Случай 2: $p < 0$.

В этом случае по определению модуля $|p| = -p$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2p^2 + 3(-p) - 7p = 0$

Упростим уравнение:

$2p^2 - 3p - 7p = 0$

$2p^2 - 10p = 0$

Вынесем общий множитель $2p$ за скобки:

$2p(p - 5) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $p_3 = 0$ и $p_4 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $p < 0$.

Корень $p_3 = 0$ не удовлетворяет строгому неравенству $0 < 0$.

Корень $p_4 = 5$ не удовлетворяет неравенству $5 < 0$.

Следовательно, в этом случае уравнение не имеет корней.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что исходное уравнение имеет два корня: 0 и 2.

Ответ: 0; 2.