Практическая работа, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

1. Заполните таблицу и проверьте достоверность графиков, изображенных на рис. 1.36.

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

$y = x^2$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4

$y = 2x^2$ | | | | |

$y = \frac{1}{2}x^2$ | | | | |

$y = -\frac{1}{2}x^2$ | | | | |

2. Из жесткой бумаги изготовьте шаблон графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$

и с его помощью постройте графики функций $y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 3$, $y = -0,5x^2$, $y = 4 - 0,5(x+1)^2$ и $y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 2$.

3. Изготовьте шаблон графика функции $y = \frac{1}{x}$ и с его помощью

постройте графики функций $y = -\frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{x-2} + 3$, $y = -\frac{1}{x+1} - 2$.

1. Заполните таблицу и проверьте достоверность графиков, изображенных на рис. 1.36.

Для заполнения таблицы необходимо подставить значения $x$ в формулы функций и вычислить соответствующие значения $y$.

• Для функции $y = 2x^2$:
  при $x = -2, y = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$
  при $x = -1, y = 2(-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$
  при $x = 0, y = 2(0)^2 = 0$
  при $x = 1, y = 2(1)^2 = 2$
  при $x = 2, y = 2(2)^2 = 8$
• Для функции $y = \frac{1}{2}x^2$:
  при $x = -2, y = \frac{1}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$
  при $x = -1, y = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$
  при $x = 0, y = \frac{1}{2}(0)^2 = 0$
  при $x = 1, y = \frac{1}{2}(1)^2 = 0,5$
  при $x = 2, y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$
• Для функции $y = -\frac{1}{2}x^2$:
  при $x = -2, y = -\frac{1}{2}(-2)^2 = -\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$
  при $x = -1, y = -\frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0,5$
  при $x = 0, y = -\frac{1}{2}(0)^2 = 0$
  при $x = 1, y = -\frac{1}{2}(1)^2 = -0,5$
  при $x = 2, y = -\frac{1}{2}(2)^2 = -2$

Проверка достоверности графиков:
Поскольку рис. 1.36 не предоставлен, мы можем лишь описать, как должны выглядеть графики. Все четыре графика являются параболами с вершиной в начале координат (0,0).

• $y=x^2$: стандартная парабола, ветви направлены вверх.
• $y=2x^2$: парабола, ветви направлены вверх, но она "уже" (растянута по вертикали в 2 раза) по сравнению с $y=x^2$.
• $y=\frac{1}{2}x^2$: парабола, ветви направлены вверх, но она "шире" (сжата по вертикали в 2 раза) по сравнению с $y=x^2$.
• $y=-\frac{1}{2}x^2$: парабола, ветви которой направлены вниз. Она является зеркальным отражением графика $y=\frac{1}{2}x^2$ относительно оси OX.

Для проверки графиков на рисунке нужно убедиться, что они соответствуют этим описаниям и проходят через вычисленные в таблице точки.

Ответ:
Заполненная таблица:

2. Из жесткой бумаги изготовьте шаблон графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$ и с его помощью постройте графики функций...

Шаблон функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0,0), ветвями вверх. Для построения других графиков будем использовать преобразования (сдвиги и отражения) этого шаблона.

$y = \frac{1}{2}(x+2)^2-3$
Чтобы построить этот график, нужно взять шаблон $y = \frac{1}{2}x^2$ и выполнить следующие преобразования:
1. Сдвинуть шаблон на 2 единицы влево вдоль оси OX. Вершина переместится в точку (-2, 0).
2. Сдвинуть полученный график на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Вершина итогового графика будет в точке (-2, -3).

Ответ:

$y = -0,5x^2$
Заметим, что $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Функция: $y = -\frac{1}{2}x^2$. Чтобы построить этот график, нужно взять шаблон $y = \frac{1}{2}x^2$ и отразить его симметрично относительно оси OX. Ветви параболы будут направлены вниз, вершина останется в точке (0, 0).

Ответ:

$y = 4 - 0,5(x + 1)^2$
Перепишем функцию: $y = -0,5(x+1)^2 + 4$. Построение:
1. Сдвинуть шаблон $y = \frac{1}{2}x^2$ на 1 единицу влево.
2. Отразить полученный график относительно оси OX.
3. Сдвинуть результат на 4 единицы вверх.
Вершина параболы окажется в точке (-1, 4), ветви направлены вниз.

Ответ:

$y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 2$
Построение:
1. Сдвинуть шаблон $y = \frac{1}{2}x^2$ на 3 единицы вправо.
2. Сдвинуть полученный график на 2 единицы вверх.
Вершина параболы окажется в точке (3, 2).

Ответ:

3. Изготовьте шаблон графика функции $y = \frac{1}{x}$ и с его помощью постройте графики функций...

Шаблон функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: оси $x=0$ и $y=0$.

$y = -\frac{1}{x}$
Для построения этого графика нужно отразить шаблон $y = \frac{1}{x}$ симметрично относительно оси OX (или OY). Ветви гиперболы переместятся во II и IV четверти. Асимптоты $x=0, y=0$ останутся без изменений.

Ответ:

$y = \frac{1}{x-2} + 3$
Построение:
1. Сдвинуть шаблон $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо. Новая вертикальная асимптота: $x=2$.
2. Сдвинуть результат на 3 единицы вверх. Новая горизонтальная асимптота: $y=3$.

Ответ:

$y = -\frac{1}{x+1} - 2$
Построение:
1. Сдвинуть шаблон $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево (новая асимптота $x=-1$).
2. Отразить результат относительно новой горизонтальной оси $y=0$.
3. Сдвинуть на 2 единицы вниз (новая асимптота $y=-2$).
Ветви будут расположены как у $y = -1/x$ относительно новых асимптот.

Ответ: