Страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Графики каких функций можно построить с помощью параллельного переноса? Приведите пример

2. При каких значениях $a$, ($a > 0$) график функции $y = af(x)$ по сравнению с графиком $y = f(x)$:

а) растягивается в $a$ раз;

б) сжимается к оси Ox в $\frac{1}{a}$ раз? Приведите пример.

1. С помощью параллельного переноса можно построить график любой функции, которая получается из некоторой "базовой" функции $y = f(x)$ путем сдвига. Такая функция имеет общий вид $y = f(x - b) + c$.
Построение графика функции $y = f(x - b) + c$ из графика $y = f(x)$ осуществляется в два этапа:
1. График функции $y = f(x)$ сдвигается на $b$ единиц вдоль оси абсцисс (Ox). Если $b > 0$, сдвиг происходит вправо, если $b < 0$ — влево.
2. Полученный на первом шаге график сдвигается на $c$ единиц вдоль оси ординат (Oy). Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз.
Пример:
Рассмотрим базовую функцию $y = x^2$ (парабола с вершиной в начале координат). С помощью параллельного переноса мы можем построить график функции $y = (x - 3)^2 + 2$. Для этого нужно сдвинуть график $y = x^2$ на 3 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина новой параболы будет находиться в точке $(3, 2)$.
Ответ: С помощью параллельного переноса можно построить графики функций вида $y = f(x-b) + c$, если известен график функции $y = f(x)$. Пример: график функции $y = |x+1| - 4$ можно построить из графика $y=|x|$ сдвигом на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз.

2. Преобразование графика $y = f(x)$ в график $y = af(x)$ при заданном условии $a > 0$ представляет собой вертикальное растяжение или сжатие графика относительно оси Ox. Каждая ордината (y-координата) точки графика умножается на коэффициент $a$.

а) График функции $y = af(x)$ растягивается в $a$ раз по сравнению с графиком $y = f(x)$, если ордината каждой точки графика увеличивается в $a$ раз. Такое преобразование является растяжением, когда коэффициент $a$ больше единицы ($a > 1$).
Пример:
Пусть дана функция $y = \cos(x)$. Значения этой функции лежат в отрезке $[-1, 1]$. Возьмем $a = 3$. Тогда функция $y = 3\cos(x)$ будет иметь значения в отрезке $[-3, 3]$. Ее график получен растяжением графика $y = \cos(x)$ в 3 раза от оси Ox.
Ответ: При $a > 1$.

б) График функции $y = af(x)$ сжимается к оси Ox, если ордината каждой точки графика по модулю уменьшается. Сжатие к оси Ox в $\frac{1}{a}$ раз означает, что y-координаты умножаются на $a$. Это происходит, когда коэффициент $a$ положителен, но меньше единицы, то есть $0 < a < 1$.
Пример:
Пусть дана та же функция $y = \cos(x)$. Возьмем $a = 0.5$. Так как $0 < 0.5 < 1$, график функции $y = 0.5\cos(x)$ будет сжат к оси Ox. Коэффициент сжатия в данном случае равен $\frac{1}{a} = \frac{1}{0.5} = 2$. Значения новой функции будут лежать в отрезке $[-0.5, 0.5]$.
Ответ: При $0 < a < 1$.

Практическая работа

1. Заполните таблицу и проверьте достоверность графиков, изображенных на рис. 1.36.

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

$y = x^2$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4

$y = 2x^2$ | | | | |

$y = \frac{1}{2}x^2$ | | | | |

$y = -\frac{1}{2}x^2$ | | | | |

2. Из жесткой бумаги изготовьте шаблон графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$

и с его помощью постройте графики функций $y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 3$, $y = -0,5x^2$, $y = 4 - 0,5(x+1)^2$ и $y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 2$.

3. Изготовьте шаблон графика функции $y = \frac{1}{x}$ и с его помощью

постройте графики функций $y = -\frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{x-2} + 3$, $y = -\frac{1}{x+1} - 2$.

1. Заполните таблицу и проверьте достоверность графиков, изображенных на рис. 1.36.

Для заполнения таблицы необходимо подставить значения $x$ в формулы функций и вычислить соответствующие значения $y$.

• Для функции $y = 2x^2$:
  при $x = -2, y = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$
  при $x = -1, y = 2(-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$
  при $x = 0, y = 2(0)^2 = 0$
  при $x = 1, y = 2(1)^2 = 2$
  при $x = 2, y = 2(2)^2 = 8$
• Для функции $y = \frac{1}{2}x^2$:
  при $x = -2, y = \frac{1}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$
  при $x = -1, y = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$
  при $x = 0, y = \frac{1}{2}(0)^2 = 0$
  при $x = 1, y = \frac{1}{2}(1)^2 = 0,5$
  при $x = 2, y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$
• Для функции $y = -\frac{1}{2}x^2$:
  при $x = -2, y = -\frac{1}{2}(-2)^2 = -\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$
  при $x = -1, y = -\frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0,5$
  при $x = 0, y = -\frac{1}{2}(0)^2 = 0$
  при $x = 1, y = -\frac{1}{2}(1)^2 = -0,5$
  при $x = 2, y = -\frac{1}{2}(2)^2 = -2$

Проверка достоверности графиков:
Поскольку рис. 1.36 не предоставлен, мы можем лишь описать, как должны выглядеть графики. Все четыре графика являются параболами с вершиной в начале координат (0,0).

• $y=x^2$: стандартная парабола, ветви направлены вверх.
• $y=2x^2$: парабола, ветви направлены вверх, но она "уже" (растянута по вертикали в 2 раза) по сравнению с $y=x^2$.
• $y=\frac{1}{2}x^2$: парабола, ветви направлены вверх, но она "шире" (сжата по вертикали в 2 раза) по сравнению с $y=x^2$.
• $y=-\frac{1}{2}x^2$: парабола, ветви которой направлены вниз. Она является зеркальным отражением графика $y=\frac{1}{2}x^2$ относительно оси OX.

Для проверки графиков на рисунке нужно убедиться, что они соответствуют этим описаниям и проходят через вычисленные в таблице точки.

Ответ:
Заполненная таблица:

2. Из жесткой бумаги изготовьте шаблон графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$ и с его помощью постройте графики функций...

Шаблон функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0,0), ветвями вверх. Для построения других графиков будем использовать преобразования (сдвиги и отражения) этого шаблона.

$y = \frac{1}{2}(x+2)^2-3$
Чтобы построить этот график, нужно взять шаблон $y = \frac{1}{2}x^2$ и выполнить следующие преобразования:
1. Сдвинуть шаблон на 2 единицы влево вдоль оси OX. Вершина переместится в точку (-2, 0).
2. Сдвинуть полученный график на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Вершина итогового графика будет в точке (-2, -3).

Ответ:

$y = -0,5x^2$
Заметим, что $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Функция: $y = -\frac{1}{2}x^2$. Чтобы построить этот график, нужно взять шаблон $y = \frac{1}{2}x^2$ и отразить его симметрично относительно оси OX. Ветви параболы будут направлены вниз, вершина останется в точке (0, 0).

Ответ:

$y = 4 - 0,5(x + 1)^2$
Перепишем функцию: $y = -0,5(x+1)^2 + 4$. Построение:
1. Сдвинуть шаблон $y = \frac{1}{2}x^2$ на 1 единицу влево.
2. Отразить полученный график относительно оси OX.
3. Сдвинуть результат на 4 единицы вверх.
Вершина параболы окажется в точке (-1, 4), ветви направлены вниз.

Ответ:

$y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 2$
Построение:
1. Сдвинуть шаблон $y = \frac{1}{2}x^2$ на 3 единицы вправо.
2. Сдвинуть полученный график на 2 единицы вверх.
Вершина параболы окажется в точке (3, 2).

Ответ:

3. Изготовьте шаблон графика функции $y = \frac{1}{x}$ и с его помощью постройте графики функций...

Шаблон функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: оси $x=0$ и $y=0$.

$y = -\frac{1}{x}$
Для построения этого графика нужно отразить шаблон $y = \frac{1}{x}$ симметрично относительно оси OX (или OY). Ветви гиперболы переместятся во II и IV четверти. Асимптоты $x=0, y=0$ останутся без изменений.

Ответ:

$y = \frac{1}{x-2} + 3$
Построение:
1. Сдвинуть шаблон $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо. Новая вертикальная асимптота: $x=2$.
2. Сдвинуть результат на 3 единицы вверх. Новая горизонтальная асимптота: $y=3$.

Ответ:

$y = -\frac{1}{x+1} - 2$
Построение:
1. Сдвинуть шаблон $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево (новая асимптота $x=-1$).
2. Отразить результат относительно новой горизонтальной оси $y=0$.
3. Сдвинуть на 2 единицы вниз (новая асимптота $y=-2$).
Ветви будут расположены как у $y = -1/x$ относительно новых асимптот.

Ответ:

1.74. Определите (устно), график какой функции нужно переместить параллельно оси Ox, чтобы получить график следующей функции. Постройте оба графика в одной системе координат:

1) $y = (x - 2)^2$;

2) $y = x^2 + 6x + 9$;

3) $y = (x + 1)^3$;

4) $y = \frac{1}{x + 3}$;

5) $y = \frac{1}{x - 3}$;

6) $y = - \frac{1}{x - 2}$.

Рис. 1.37

1) График функции $y = (x-2)^2$ получается из графика функции-параболы $y=x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 2 единицы вправо. На графике исходная функция $y=x^2$ показана черным цветом, а результирующая функция $y=(x-2)^2$ — синим.

Ответ: График функции $y=x^2$ нужно переместить на 2 единицы вправо.

2) Преобразуем функцию $y = x^2 + 6x + 9$, выделив полный квадрат. Это выражение является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 = (x+3)^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x+3)^2$. Её график получается из графика функции $y=x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на 3 единицы влево. На графике исходная функция $y=x^2$ показана черным цветом, а результирующая функция $y=(x+3)^2$ — синим.

Ответ: График функции $y=x^2$ нужно переместить на 3 единицы влево.

3) График функции $y = (x+1)^3$ получается из графика кубической параболы $y=x^3$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на 1 единицу влево. На графике исходная функция $y=x^3$ показана черным цветом, а результирующая функция $y=(x+1)^3$ — синим.

Ответ: График функции $y=x^3$ нужно переместить на 1 единицу влево.

4) График функции $y = \frac{1}{x+3}$ получается из графика гиперболы $y=\frac{1}{x}$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на 3 единицы влево. Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=-3$. На графике исходная функция $y=\frac{1}{x}$ показана черным цветом, а результирующая функция $y=\frac{1}{x+3}$ — синим.

Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно переместить на 3 единицы влево.

5) График функции $y = \frac{1}{x-3}$ получается из графика гиперболы $y=\frac{1}{x}$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=3$. На графике исходная функция $y=\frac{1}{x}$ показана черным цветом, а результирующая функция $y=\frac{1}{x-3}$ — синим.

Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно переместить на 3 единицы вправо.

6) График функции $y = -\frac{1}{x-2}$ получается из графика функции $y=-\frac{1}{x}$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на 2 единицы вправо. График $y=-\frac{1}{x}$ представляет собой гиперболу, расположенную во II и IV координатных четвертях. Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=2$. На графике исходная функция $y=-\frac{1}{x}$ показана черным цветом, а результирующая функция $y=-\frac{1}{x-2}$ — синим.

Ответ: График функции $y=-\frac{1}{x}$ нужно переместить на 2 единицы вправо.