Номер 1.80, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.80. 1) $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{x - 0{,}5};$

2) $y = \frac{2}{2x - 1} - 1;$

3) $y = \frac{6x - 5}{2x - 1};$

4) $y = \frac{1 - 3x}{3x + 2}.$

$y = \frac{1}{x}$

$y = \frac{1}{x - 0{,}5} - 1$

Рис. 1.41

1) Чтобы привести функцию $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{x - 0,5}$ к стандартному виду $y = \frac{k}{x - a} + b$, достаточно поменять местами слагаемые:

$y = -\frac{1}{x - 0,5} + \frac{3}{2}$

Это функция вида $y = \frac{k}{x - a} + b$, где $k = -1$, $a = 0,5$, $b = 1,5$. График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом на $0,5$ единицы вправо по оси $Ox$ и на $1,5$ единицы вверх по оси $Oy$.

Ответ: $y = \frac{-1}{x - 0,5} + 1,5$.

2) Преобразуем функцию $y = \frac{2}{2x - 1} - 1$ к виду $y = \frac{k}{x - a} + b$. Для этого в знаменателе дроби вынесем за скобки коэффициент при $x$:

$y = \frac{2}{2(x - \frac{1}{2})} - 1$

Сократим дробь на 2:

$y = \frac{1}{x - \frac{1}{2}} - 1$

Или в десятичном виде:

$y = \frac{1}{x - 0,5} - 1$

Это функция вида $y = \frac{k}{x - a} + b$, где $k = 1$, $a = 0,5$, $b = -1$. График этой функции изображен на рисунке к заданию. Он получен из графика функции $y = \frac{1}{x}$ сдвигом на $0,5$ единицы вправо по оси $Ox$ и на $1$ единицу вниз по оси $Oy$.

Ответ: $y = \frac{1}{x - 0,5} - 1$.

3) Для приведения дроби $y = \frac{6x - 5}{2x - 1}$ к стандартному виду выделим целую часть. Для этого представим числитель через знаменатель:

$6x - 5 = 3(2x - 1) - 2$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{3(2x - 1) - 2}{2x - 1} = \frac{3(2x - 1)}{2x - 1} - \frac{2}{2x - 1} = 3 - \frac{2}{2x - 1}$

Теперь преобразуем дробную часть, вынеся 2 за скобки в знаменателе:

$y = 3 - \frac{2}{2(x - 0,5)} = 3 - \frac{1}{x - 0,5}$

Запишем в стандартном виде:

$y = \frac{-1}{x - 0,5} + 3$

Ответ: $y = \frac{-1}{x - 0,5} + 3$.

4) Преобразуем функцию $y = \frac{1 - 3x}{3x + 2}$. Сначала для удобства поменяем порядок слагаемых в числителе: $y = \frac{-3x + 1}{3x + 2}$.

Выделим целую часть, представив числитель через знаменатель:

$-3x + 1 = -(3x + 2) + 2 + 1 = -(3x + 2) + 3$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{-(3x + 2) + 3}{3x + 2} = \frac{-(3x + 2)}{3x + 2} + \frac{3}{3x + 2} = -1 + \frac{3}{3x + 2}$

Вынесем коэффициент 3 в знаменателе дроби:

$y = -1 + \frac{3}{3(x + \frac{2}{3})} = -1 + \frac{1}{x + \frac{2}{3}}$

Запишем в стандартном виде:

$y = \frac{1}{x + \frac{2}{3}} - 1$

Ответ: $y = \frac{1}{x + \frac{2}{3}} - 1$.

На Рис. 1.41, приложенном к заданию, показаны графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x - 0,5} - 1$ (решение пункта 2). Ниже представлена векторная копия этого изображения.