Номер 1.78, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.78. Постройте графики функций, данных в задаче 1.77, путем сжатия (растяжения).

а) $y = 2 \sin(x)$

Для построения графика функции $y = 2 \sin(x)$ в качестве исходного используется график функции $y_0 = \sin(x)$. Преобразование $f(x) \rightarrow A \cdot f(x)$ при $|A| > 1$ является растяжением графика вдоль оси ординат $Oy$. В данном случае коэффициент $A=2$, поэтому мы выполняем растяжение графика $y = \sin(x)$ в 2 раза вдоль оси $Oy$.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin(x)$ переходит в точку $(x_0, 2y_0)$ на графике $y = 2 \sin(x)$. Амплитуда колебаний увеличивается в 2 раза и становится равной 2, а период функции не изменяется и остается равным $2\pi$.

На рисунке ниже график исходной функции $y = \sin(x)$ показан синей пунктирной линией, а график результирующей функции $y = 2 \sin(x)$ — красной сплошной линией.

Ответ: График функции $y = 2 \sin(x)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$.

б) $y = \sin(2x)$

Для построения графика функции $y = \sin(2x)$ исходным является график $y_0 = \sin(x)$. Преобразование $f(x) \rightarrow f(kx)$ при $|k| > 1$ является сжатием графика по горизонтали (к оси $Oy$). В данном случае коэффициент $k=2$, поэтому мы выполняем сжатие графика $y = \sin(x)$ в 2 раза по горизонтали.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin(x)$ переходит в точку $(x_0/2, y_0)$ на графике $y = \sin(2x)$. Амплитуда колебаний не изменяется и остается равной 1, а период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = 2\pi/2 = \pi$.

На рисунке ниже график исходной функции $y = \sin(x)$ показан синей пунктирной линией, а график результирующей функции $y = \sin(2x)$ — красной сплошной линией.

Ответ: График функции $y = \sin(2x)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия в 2 раза по горизонтали к оси $Oy$.

в) $y = \frac{1}{2} \cos(x)$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{2} \cos(x)$ используем график $y_0 = \cos(x)$. Преобразование $f(x) \rightarrow A \cdot f(x)$ при $0 < |A| < 1$ является сжатием графика вдоль оси ординат $Oy$. В данном случае коэффициент $A=\frac{1}{2}$, поэтому мы выполняем сжатие графика $y = \cos(x)$ в 2 раза вдоль оси $Oy$.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \cos(x)$ переходит в точку $(x_0, y_0/2)$ на графике $y = \frac{1}{2} \cos(x)$. Амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза и становится равной $\frac{1}{2}$, а период функции не изменяется и остается равным $2\pi$.

На рисунке ниже график исходной функции $y = \cos(x)$ показан синей пунктирной линией, а график результирующей функции $y = \frac{1}{2} \cos(x)$ — красной сплошной линией.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2} \cos(x)$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси $Oy$.

г) $y = \cos(\frac{x}{2})$

Для построения графика функции $y = \cos(\frac{x}{2})$ исходным является график $y_0 = \cos(x)$. Преобразование $f(x) \rightarrow f(kx)$ при $0 < |k| < 1$ является растяжением графика по горизонтали (от оси $Oy$). В данном случае коэффициент $k=\frac{1}{2}$, поэтому мы выполняем растяжение графика $y = \cos(x)$ в $1/k = 2$ раза по горизонтали.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \cos(x)$ переходит в точку $(2x_0, y_0)$ на графике $y = \cos(\frac{x}{2})$. Амплитуда колебаний не изменяется и остается равной 1, а период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T = 2\pi / (1/2) = 4\pi$.

На рисунке ниже график исходной функции $y = \cos(x)$ показан синей пунктирной линией, а график результирующей функции $y = \cos(\frac{x}{2})$ — красной сплошной линией.

Ответ: График функции $y = \cos(\frac{x}{2})$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем растяжения в 2 раза по горизонтали от оси $Oy$.