Номер 1.64, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.64. 1) $f(x) = \frac{2}{x-3}$;

2) $f(x) = 1 - \frac{1}{x-2}$.

1) $f(x) = \frac{2}{x-3}$

Проведем полное исследование данной функции для построения ее графика.

1. Область определения.

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.
$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Область значений.

Поскольку числитель дроби равен 2 (константа, не равная нулю), значение дроби никогда не может быть равно нулю. Следовательно, $f(x) \neq 0$.
Область значений: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy (полагаем $x=0$): $f(0) = \frac{2}{0-3} = -\frac{2}{3}$. Точка пересечения: $(0; -2/3)$.
С осью Ox (полагаем $f(x)=0$): $\frac{2}{x-3} = 0$. Уравнение не имеет решений. Пересечения с осью Ox нет.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Ищем в точке разрыва $x=3$.
$\lim_{x \to 3^+} \frac{2}{x-3} = \frac{2}{+0} = +\infty$
$\lim_{x \to 3^-} \frac{2}{x-3} = \frac{2}{-0} = -\infty$
Прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота. Ищем предел при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x-3} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.

5. Монотонность и экстремумы.

Найдем первую производную: $f'(x) = \left(\frac{2}{x-3}\right)' = (2(x-3)^{-1})' = -2(x-3)^{-2} = -\frac{2}{(x-3)^2}$.
Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен в области определения. Числитель -2 отрицателен. Таким образом, $f'(x) < 0$ для всех $x \in D(f)$.
Функция убывает на обоих интервалах своей области определения: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (-2(x-3)^{-2})' = (-2)(-2)(x-3)^{-3} = \frac{4}{(x-3)^3}$.
Если $x > 3$, то $(x-3)^3 > 0$, и $f''(x) > 0$. График вогнутый (выпуклый вниз) на интервале $(3; +\infty)$.
Если $x < 3$, то $(x-3)^3 < 0$, и $f''(x) < 0$. График выпуклый (выпуклый вверх) на интервале $(-\infty; 3)$.
Точек перегиба нет, так как $x=3$ не принадлежит области определения.

7. Построение графика.

График функции — гипербола с центром в точке пересечения асимптот $(3; 0)$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно этих асимптот.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Асимптоты: $x=3$ (вертикальная), $y=0$ (горизонтальная). Функция убывает на всей области определения. График — гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях относительно своих асимптот.

2) $f(x) = 1 - \frac{1}{x-2}$

Проведем полное исследование данной функции для построения ее графика.

1. Область определения.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Область значений.

Дробь $\frac{1}{x-2}$ не может равняться нулю. Следовательно, значение функции $f(x) = 1 - \frac{1}{x-2}$ никогда не будет равно 1.
Область значений: $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy (полагаем $x=0$): $f(0) = 1 - \frac{1}{0-2} = 1 + 0.5 = 1.5$. Точка пересечения: $(0; 1.5)$.
С осью Ox (полагаем $f(x)=0$): $1 - \frac{1}{x-2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x-2} = 1 \Rightarrow x-2 = 1 \Rightarrow x=3$. Точка пересечения: $(3; 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Ищем в точке разрыва $x=2$.
$\lim_{x \to 2^+} \left(1 - \frac{1}{x-2}\right) = 1 - (+\infty) = -\infty$
$\lim_{x \to 2^-} \left(1 - \frac{1}{x-2}\right) = 1 - (-\infty) = +\infty$
Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота. Ищем предел при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{1}{x-2}\right) = 1 - 0 = 1$.
Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Монотонность и экстремумы.

Найдем первую производную: $f'(x) = \left(1 - \frac{1}{x-2}\right)' = (-(x-2)^{-1})' = (x-2)^{-2} = \frac{1}{(x-2)^2}$.
Так как $(x-2)^2 > 0$ для всех $x \in D(f)$, то $f'(x) > 0$ всегда.
Функция возрастает на обоих интервалах своей области определения: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = ((x-2)^{-2})' = -2(x-2)^{-3} = -\frac{2}{(x-2)^3}$.
Если $x > 2$, то $(x-2)^3 > 0$, и $f''(x) < 0$. График выпуклый (выпуклый вверх) на интервале $(2; +\infty)$.
Если $x < 2$, то $(x-2)^3 < 0$, и $f''(x) > 0$. График вогнутый (выпуклый вниз) на интервале $(-\infty; 2)$.
Точек перегиба нет, так как $x=2$ не принадлежит области определения.

7. Построение графика.

График функции — гипербола с центром в точке $(2; 1)$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x=2$ и $y=1$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$. Асимптоты: $x=2$ (вертикальная), $y=1$ (горизонтальная). Функция возрастает на всей области определения. График — гипербола, расположенная во второй и четвертой четвертях относительно своих асимптот.