Номер 1.57, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.57*. Известно, что функция $y = f(x)$ четная, причем:

1) $f(x) = \sqrt{x}$, $x \geq 0$;

2) $f(x) = x^2 - 3x$, $x \geq 0$;

3) $f(x) = x^2 - 2x$, $x \geq 0$;

4) $f(x) = \frac{1}{x+1}$, $x \leq 0$.

Задайте эту функцию одной формулой и постройте ее график.

В упражнениях 1.58* - 1.61* исследуйте функции и постройте их графики.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$. Так как функция $y = f(x)$ является четной, то по определению должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Для $x < 0$ значение $-x > 0$. Следовательно, мы можем найти значение функции в точке $x$, используя ее значение в точке $-x$: $f(x) = f(-x) = \sqrt{-x}$.

Таким образом, функцию можно задать кусочно: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это соответствует определению модуля числа: $|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Поэтому функцию можно задать одной формулой: $f(x) = \sqrt{|x|}$.

График функции для $x \ge 0$ — это ветвь параболы $y^2 = x$. Для $x < 0$ график симметричен относительно оси OY, что соответствует ветви параболы $y^2 = -x$.

Ответ: $f(x) = \sqrt{|x|}$.

2) Дана функция $f(x) = x^2 - 3x$ при $x \ge 0$. Функция является четной, поэтому $f(-x) = f(x)$.

Для $x < 0$ имеем $-x > 0$. Тогда $f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) = x^2 + 3x$.

Функцию можно задать кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Используя определение модуля $|x|$, эту функцию можно записать одной формулой. Поскольку $x^2 = |x|^2$, получаем: $f(x) = |x|^2 - 3|x| = x^2 - 3|x|$.

Для построения графика сначала построим параболу $y = x^2 - 3x$ для $x \ge 0$. Вершина этой параболы находится в точке $x_v = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1.5$, $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) = -2.25$. Корни: $x(x-3)=0 \implies x=0, x=3$.

Затем отразим полученную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить график для $x < 0$. Это будет график функции $y = x^2 + 3x$.

Ответ: $f(x) = x^2 - 3|x|$.

3) Дана функция $f(x) = x^2 - 2x$ при $x \ge 0$. Функция четная, поэтому $f(-x) = f(x)$.

Для $x < 0$ имеем $-x > 0$. Тогда $f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.

Функцию можно задать кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Используя определение модуля, получаем единую формулу: $f(x) = |x|^2 - 2|x| = x^2 - 2|x|$.

Для построения графика строим параболу $y = x^2 - 2x$ для $x \ge 0$. Вершина: $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$, $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Корни: $x(x-2)=0 \implies x=0, x=2$.

Затем отражаем эту часть графика симметрично относительно оси OY. В результате в точке $(0,0)$ образуется излом (касп).

Ответ: $f(x) = x^2 - 2|x|$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x+1}$ при $x \le 0$. Функция является четной, значит $f(-x) = f(x)$.

Для $x > 0$ имеем $-x < 0$. Тогда $f(x) = f(-x) = \frac{1}{(-x)+1} = \frac{1}{1-x}$.

Функцию можно задать кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1-x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

Чтобы записать это одной формулой, заметим, что для $x > 0$, $|x|=x$, и формула принимает вид $\frac{1}{1-|x|}$. Для $x \le 0$, $|x|=-x$, и формула принимает вид $\frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}$. Таким образом, единая формула: $f(x) = \frac{1}{1-|x|}$.

Область определения: $1-|x| \ne 0 \implies |x| \ne 1 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$. У функции есть две вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.

Для $x \le 0$ график является частью гиперболы $y = \frac{1}{x+1}$. Для $x > 0$ график симметричен относительно оси OY.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{1-|x|}$.