Страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.88. Запишите сложную функцию $y = f(u(x))):$

1) $f(u) = u^2$, $u(x) = 2x - 1$;

2) $f(u) = 2u - 1$, $u(x) = x^2$;

3) $f(u) = \sqrt{u}$, $u(x) = x - 4$;

4) $f(u) = u - 4$, $u(x) = \sqrt{x}$;

5) $f(u) = 3 - 2\sqrt{u}$, $u(x) = x^2 - 1$;

6) $f(u) = u^2 - 1$, $u(x) = 3 - 2\sqrt{x}$.

1) Даны функции $f(u) = u^2$ и $u(x) = 2x - 1$. Чтобы найти сложную функцию $y = f(u(x))$, необходимо подставить выражение для $u(x)$ в функцию $f(u)$ вместо переменной $u$.
$y = f(u(x)) = (u(x))^2 = (2x - 1)^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$y = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
Ответ: $y = 4x^2 - 4x + 1$.

2) Даны функции $f(u) = 2u - 1$ и $u(x) = x^2$.
Подставляем $u(x)$ в $f(u)$:
$y = f(u(x)) = 2 \cdot u(x) - 1 = 2x^2 - 1$.
Ответ: $y = 2x^2 - 1$.

3) Даны функции $f(u) = \sqrt{u}$ и $u(x) = x - 4$.
Подставляем $u(x)$ в $f(u)$:
$y = f(u(x)) = \sqrt{u(x)} = \sqrt{x - 4}$.
Ответ: $y = \sqrt{x - 4}$.

4) Даны функции $f(u) = u - 4$ и $u(x) = \sqrt{x}$.
Подставляем $u(x)$ в $f(u)$:
$y = f(u(x)) = u(x) - 4 = \sqrt{x} - 4$.
Ответ: $y = \sqrt{x} - 4$.

5) Даны функции $f(u) = 3 - 2\sqrt{u}$ и $u(x) = x^2 - 1$.
Подставляем $u(x)$ в $f(u)$:
$y = f(u(x)) = 3 - 2\sqrt{u(x)} = 3 - 2\sqrt{x^2 - 1}$.
Ответ: $y = 3 - 2\sqrt{x^2 - 1}$.

6) Даны функции $f(u) = u^2 - 1$ и $u(x) = 3 - 2\sqrt{x}$.
Подставляем $u(x)$ в $f(u)$:
$y = f(u(x)) = (u(x))^2 - 1 = (3 - 2\sqrt{x})^2 - 1$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$y = (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2) - 1 = (9 - 12\sqrt{x} + 4x) - 1$.
Упростим выражение:
$y = 4x - 12\sqrt{x} + 8$.
Ответ: $y = 4x - 12\sqrt{x} + 8$.

1.89. Пусть $R_+$ – множество всех положительных действительных чисел и функция $f$ каждому $x \in R_+$ ставит в соответствие число $y = 5x$. Запишите функцию, обратную функции $f$.

По условию, дана функция $f$, которая каждому положительному действительному числу $x \in R_+$ ставит в соответствие число $y=5x$. Это можно записать как $f(x) = 5x$. Область определения данной функции — множество всех положительных действительных чисел, то есть $D(f) = (0, +\infty)$.

Чтобы найти функцию, обратную функции $f$, необходимо выразить $x$ через $y$ из уравнения $y = 5x$.

Разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{y}{5}$

Полученное уравнение задает обратную зависимость. Для записи обратной функции в стандартном виде (где аргумент обозначается как $x$, а значение функции как $y$), поменяем переменные местами. Пусть обратная функция обозначается $g(x)$.

Тогда $y = \frac{x}{5}$ или $g(x) = \frac{x}{5}$.

Область определения обратной функции $g(x)$ совпадает с областью значений исходной функции $f(x)$. Найдем область значений $f(x) = 5x$. Так как $x > 0$, то $5x > 0$. Следовательно, область значений $E(f) = (0, +\infty)$.

Таким образом, обратная функция $y = \frac{x}{5}$ определена на множестве всех положительных действительных чисел $R_+$.

Ответ: $y = \frac{x}{5}$

1.90. Функция $y = x^3$ определена на множестве всех действительных чисел. Найдите обратную функцию.

Чтобы найти функцию, обратную к данной функции $y = x^3$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Убедиться, что функция является обратимой. Функция $y = x^3$ является строго монотонно возрастающей на всей своей области определения (множестве всех действительных чисел). Это означает, что каждому значению $y$ соответствует только одно значение $x$. Следовательно, обратная функция существует.

2. Выразить переменную $x$ через $y$ из исходного уравнения $y = x^3$. Для этого извлечем кубический корень из обеих частей равенства:
$x = \sqrt[3]{y}$

3. Для получения стандартной записи обратной функции поменять местами переменные $x$ и $y$. То есть, в полученном выражении $x = \sqrt[3]{y}$ мы заменяем $x$ на $y$, а $y$ на $x$.
$y = \sqrt[3]{x}$

Эта функция и является обратной к исходной. Область определения и область значений обратной функции также являются множеством всех действительных чисел.

Ответ: $y = \sqrt[3]{x}$

1.91. Задана функция $f: x \to x^2$, $x \in (-\infty; +\infty)$. Определите обратное ей соответствие. Является ли обратное соответствие функцией?

Задана функция $f(x) = x^2$ с областью определения $x \in (-\infty; +\infty)$.

Определите обратное ей соответствие.

Чтобы найти обратное соответствие для функции $y = x^2$, необходимо выразить переменную $x$ через $y$.

Из уравнения $y = x^2$ следует, что $x = \pm\sqrt{y}$.

Областью определения исходной функции $y = x^2$ является множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Областью значений является множество всех неотрицательных чисел $E(y) = [0; +\infty)$.

Для обратного соответствия область определения совпадает с областью значений исходной функции, а область значений — с областью определения исходной функции. Таким образом, для обратного соответствия $x = \pm\sqrt{y}$ областью определения является $y \in [0; +\infty)$.

Если поменять переменные $x$ и $y$ местами (что является стандартным приемом при нахождении обратной функции), то обратное соответствие будет задано как $y = \pm\sqrt{x}$ с областью определения $x \in [0; +\infty)$.

Является ли обратное соответствие функцией?

Согласно определению, функция — это такое соответствие, при котором каждому значению независимой переменной (аргумента) из области определения соответствует одно и только одно значение зависимой переменной (функции).

Рассмотрим полученное обратное соответствие $y = \pm\sqrt{x}$. Возьмем любое положительное значение из его области определения, например, $x=9$. Подставив его в формулу, мы получим два значения $y$: $y_1 = \sqrt{9} = 3$ и $y_2 = -\sqrt{9} = -3$.

Поскольку одному значению аргумента $x=9$ соответствуют два разных значения $y$, условие единственности не выполняется. Следовательно, данное обратное соответствие не является функцией.

Это происходит потому, что исходная функция $f(x)=x^2$ не является взаимно однозначной (инъективной) на своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Например, $f(2) = 4$ и $f(-2) = 4$.

Ответ: Обратное соответствие задается выражением $y = \pm\sqrt{x}$ с областью определения $x \in [0; +\infty)$. Это соответствие не является функцией, так как каждому положительному значению $x$ соответствуют два различных значения $y$.

1.92. Даны функции:

1) $y = 2x + 6$;

2) $y = 2x - 8$;

3) $y = 3 - 0.5x$;

4) $y = 0.4x - 2.8$.

Найдите обратную функцию. Постройте графики данных и обратных им функций в одной системе координат.

1) Дана функция $y = 2x + 6$.

Для нахождения обратной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. В уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$. Исходное уравнение: $y = 2x + 6$. После замены получаем: $x = 2y + 6$.

2. Решить полученное уравнение относительно $y$.
$x - 6 = 2y$
$y = \frac{x - 6}{2}$
$y = 0,5x - 3$

Таким образом, обратная функция имеет вид $y = 0,5x - 3$.

Теперь построим графики исходной функции $y = 2x + 6$ (синий цвет) и обратной ей функции $y = 0,5x - 3$ (красный цвет) в одной системе координат. Графики этих функций являются прямыми линиями. Для построения прямой достаточно двух точек. Также построим прямую $y=x$ (серая пунктирная линия), относительно которой графики взаимно обратных функций симметричны.

Для функции $y = 2x + 6$ найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y = 2 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
При $y=0$, $0 = 2x + 6 \implies 2x = -6 \implies x = -3$. Точка $(-3, 0)$.

Для обратной функции $y = 0,5x - 3$:
При $x=0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
При $y=0$, $0 = 0,5x - 3 \implies 0,5x = 3 \implies x = 6$. Точка $(6, 0)$.

Ответ: $y = 0,5x - 3$

2) Дана функция $y = 2x - 8$.

Для нахождения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$:$x = 2y - 8$.
Затем выразим $y$:
$2y = x + 8$
$y = \frac{x + 8}{2}$
$y = 0,5x + 4$

Обратная функция: $y = 0,5x + 4$.

Построим графики исходной функции $y = 2x - 8$ (синий) и обратной $y = 0,5x + 4$ (красный).
Точки для $y = 2x - 8$:
При $x=0$, $y=-8$. Точка $(0, -8)$.
При $y=0$, $2x=8 \implies x=4$. Точка $(4, 0)$.
Точки для $y = 0,5x + 4$:
При $x=0$, $y=4$. Точка $(0, 4)$.
При $y=0$, $0,5x=-4 \implies x=-8$. Точка $(-8, 0)$.

Ответ: $y = 0,5x + 4$

3) Дана функция $y = 3 - 0,5x$.

Находим обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами:$x = 3 - 0,5y$.
Выражаем $y$:
$0,5y = 3 - x$
$y = \frac{3 - x}{0,5}$
$y = 6 - 2x$

Обратная функция: $y = -2x + 6$.

Построим графики исходной функции $y = -0,5x + 3$ (синий) и обратной $y = -2x + 6$ (красный).
Точки для $y = -0,5x + 3$:
При $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.
При $y=0$, $0,5x=3 \implies x=6$. Точка $(6, 0)$.
Точки для $y = -2x + 6$:
При $x=0$, $y=6$. Точка $(0, 6)$.
При $y=0$, $2x=6 \implies x=3$. Точка $(3, 0)$.

Ответ: $y = -2x + 6$

4) Дана функция $y = 0,4x - 2,8$.

Для нахождения обратной функции меняем местами $x$ и $y$:$x = 0,4y - 2,8$.
Выражаем $y$:
$0,4y = x + 2,8$
$y = \frac{x + 2,8}{0,4}$
$y = 2,5x + 7$

Обратная функция: $y = 2,5x + 7$.

Построим графики исходной функции $y = 0,4x - 2,8$ (синий) и обратной $y = 2,5x + 7$ (красный).
Точки для $y = 0,4x - 2,8$:
При $x=0$, $y=-2,8$. Точка $(0, -2,8)$.
При $y=0$, $0,4x=2,8 \implies x=7$. Точка $(7, 0)$.
Точки для $y = 2,5x + 7$:
При $x=0$, $y=7$. Точка $(0, 7)$.
При $y=0$, $2,5x=-7 \implies x=-2,8$. Точка $(-2,8, 0)$.

Ответ: $y = 2,5x + 7$

1.93. На множестве действительных чисел даны функции $f(x) = x + 5$ и $\varphi(x) = \frac{1}{x}$. Запишите сложные функции $f(\varphi(x))$ и $\varphi(f(x))$.

f(φ(x)). Чтобы найти сложную функцию $f(\phi(x))$, или композицию функций $f$ и $\phi$, нужно в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$ подставить всю функцию $\phi(x)$.
Даны функции: $f(x) = x + 5$ и $\phi(x) = \frac{1}{x}$.
Подставляем $\phi(x)$ в $f(x)$:
$f(\phi(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 5$.
Данная сложная функция определена на множестве всех действительных чисел, за исключением $x=0$, так как в этой точке знаменатель обращается в ноль.
Ответ: $f(\phi(x)) = \frac{1}{x} + 5$.

φ(f(x)). Чтобы найти сложную функцию $\phi(f(x))$, или композицию функций $\phi$ и $f$, нужно в функцию $\phi(x)$ вместо аргумента $x$ подставить всю функцию $f(x)$.
Даны функции: $\phi(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x + 5$.
Подставляем $f(x)$ в $\phi(x)$:
$\phi(f(x)) = \phi(x+5) = \frac{1}{x+5}$.
Данная сложная функция определена на множестве всех действительных чисел, за исключением тех значений $x$, при которых знаменатель $x+5$ равен нулю. Решив уравнение $x+5=0$, получаем $x=-5$. Следовательно, область определения функции: $x \neq -5$.
Ответ: $\phi(f(x)) = \frac{1}{x+5}$.

1.94. Функция $y = f(x)$ задана табличным способом. Заполните таблицы для отображений $f(f^{-1}(x))$ и $f^{-1}(f(x))$. Сделайте вывод.

Исходная таблица:

$x$: 0, 1, 2, 3, 4

$f(x)$: 3, 4, 5, 6, 7

Для решения задачи сначала необходимо найти обратную функцию $f^{-1}(x)$. Исходная функция $y=f(x)$ задана следующей таблицей:

Обратная функция $f^{-1}(x)$ получается, если поменять местами область определения и область значений исходной функции. Иными словами, строки $x$ и $f(x)$ в таблице меняются местами. Таблица для $f^{-1}(x)$ будет выглядеть так:

Заполнение таблицы для отображения $f(f^{-1}(x))$

Для нахождения значений композиции $f(f^{-1}(x))$ необходимо для каждого $x$ из области определения функции $f^{-1}(x)$ (то есть для $x \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$) сначала вычислить $f^{-1}(x)$, а затем для полученного результата найти значение функции $f$.

При $x=3$: $f(f^{-1}(3)) = f(0) = 3$

При $x=4$: $f(f^{-1}(4)) = f(1) = 4$

При $x=5$: $f(f^{-1}(5)) = f(2) = 5$

При $x=6$: $f(f^{-1}(6)) = f(3) = 6$

При $x=7$: $f(f^{-1}(7)) = f(4) = 7$

Таким образом, таблица для отображения $f(f^{-1}(x))$ выглядит следующим образом:

Ответ: Таблица для отображения $f(f^{-1}(x))$ заполнена выше.

Заполнение таблицы для отображения $f^{-1}(f(x))$

Для нахождения значений композиции $f^{-1}(f(x))$ необходимо для каждого $x$ из области определения функции $f(x)$ (то есть для $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$) сначала вычислить $f(x)$, а затем для полученного результата найти значение функции $f^{-1}$.

При $x=0$: $f^{-1}(f(0)) = f^{-1}(3) = 0$

При $x=1$: $f^{-1}(f(1)) = f^{-1}(4) = 1$

При $x=2$: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(5) = 2$

При $x=3$: $f^{-1}(f(3)) = f^{-1}(6) = 3$

При $x=4$: $f^{-1}(f(4)) = f^{-1}(7) = 4$

Таким образом, таблица для отображения $f^{-1}(f(x))$ выглядит следующим образом:

Ответ: Таблица для отображения $f^{-1}(f(x))$ заполнена выше.

Вывод

Из полученных таблиц видно, что для любого значения $x$ из соответствующей области определения, значение композиции функции и её обратной равно самому $x$. То есть, $f(f^{-1}(x)) = x$ и $f^{-1}(f(x)) = x$. Это означает, что последовательное применение прямой и обратной функции является тождественным преобразованием (или тождественной функцией), которое возвращает исходное значение аргумента. Это фундаментальное свойство взаимно обратных функций.

Ответ: Композиция взаимно обратных функций $f$ и $f^{-1}$ является тождественной функцией на своей области определения, то есть $f(f^{-1}(x)) = x$ и $f^{-1}(f(x)) = x$.