Номер 1.92, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.92. Даны функции:

1) $y = 2x + 6$;

2) $y = 2x - 8$;

3) $y = 3 - 0.5x$;

4) $y = 0.4x - 2.8$.

Найдите обратную функцию. Постройте графики данных и обратных им функций в одной системе координат.

1) Дана функция $y = 2x + 6$.

Для нахождения обратной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. В уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$. Исходное уравнение: $y = 2x + 6$. После замены получаем: $x = 2y + 6$.

2. Решить полученное уравнение относительно $y$.
$x - 6 = 2y$
$y = \frac{x - 6}{2}$
$y = 0,5x - 3$

Таким образом, обратная функция имеет вид $y = 0,5x - 3$.

Теперь построим графики исходной функции $y = 2x + 6$ (синий цвет) и обратной ей функции $y = 0,5x - 3$ (красный цвет) в одной системе координат. Графики этих функций являются прямыми линиями. Для построения прямой достаточно двух точек. Также построим прямую $y=x$ (серая пунктирная линия), относительно которой графики взаимно обратных функций симметричны.

Для функции $y = 2x + 6$ найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y = 2 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
При $y=0$, $0 = 2x + 6 \implies 2x = -6 \implies x = -3$. Точка $(-3, 0)$.

Для обратной функции $y = 0,5x - 3$:
При $x=0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
При $y=0$, $0 = 0,5x - 3 \implies 0,5x = 3 \implies x = 6$. Точка $(6, 0)$.

Ответ: $y = 0,5x - 3$

2) Дана функция $y = 2x - 8$.

Для нахождения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$:$x = 2y - 8$.
Затем выразим $y$:
$2y = x + 8$
$y = \frac{x + 8}{2}$
$y = 0,5x + 4$

Обратная функция: $y = 0,5x + 4$.

Построим графики исходной функции $y = 2x - 8$ (синий) и обратной $y = 0,5x + 4$ (красный).
Точки для $y = 2x - 8$:
При $x=0$, $y=-8$. Точка $(0, -8)$.
При $y=0$, $2x=8 \implies x=4$. Точка $(4, 0)$.
Точки для $y = 0,5x + 4$:
При $x=0$, $y=4$. Точка $(0, 4)$.
При $y=0$, $0,5x=-4 \implies x=-8$. Точка $(-8, 0)$.

Ответ: $y = 0,5x + 4$

3) Дана функция $y = 3 - 0,5x$.

Находим обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами:$x = 3 - 0,5y$.
Выражаем $y$:
$0,5y = 3 - x$
$y = \frac{3 - x}{0,5}$
$y = 6 - 2x$

Обратная функция: $y = -2x + 6$.

Построим графики исходной функции $y = -0,5x + 3$ (синий) и обратной $y = -2x + 6$ (красный).
Точки для $y = -0,5x + 3$:
При $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.
При $y=0$, $0,5x=3 \implies x=6$. Точка $(6, 0)$.
Точки для $y = -2x + 6$:
При $x=0$, $y=6$. Точка $(0, 6)$.
При $y=0$, $2x=6 \implies x=3$. Точка $(3, 0)$.

Ответ: $y = -2x + 6$

4) Дана функция $y = 0,4x - 2,8$.

Для нахождения обратной функции меняем местами $x$ и $y$:$x = 0,4y - 2,8$.
Выражаем $y$:
$0,4y = x + 2,8$
$y = \frac{x + 2,8}{0,4}$
$y = 2,5x + 7$

Обратная функция: $y = 2,5x + 7$.

Построим графики исходной функции $y = 0,4x - 2,8$ (синий) и обратной $y = 2,5x + 7$ (красный).
Точки для $y = 0,4x - 2,8$:
При $x=0$, $y=-2,8$. Точка $(0, -2,8)$.
При $y=0$, $0,4x=2,8 \implies x=7$. Точка $(7, 0)$.
Точки для $y = 2,5x + 7$:
При $x=0$, $y=7$. Точка $(0, 7)$.
При $y=0$, $2,5x=-7 \implies x=-2,8$. Точка $(-2,8, 0)$.

Ответ: $y = 2,5x + 7$