Номер 1.98, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.98. В задаче 1.95 найдите области определения сложных функций $f(g(x))$ и $g(f(x))$.

Для нахождения области определения сложной функции необходимо, чтобы выполнялись два условия:
1. Аргумент $x$ должен принадлежать области определения "внутренней" функции.
2. Значение "внутренней" функции должно принадлежать области определения "внешней" функции.

Таким образом, область определения сложной функции $y = f(g(x))$, обозначаемая $D(f \circ g)$, находится из системы условий:

$ D(f \circ g) = \{x \in D(g) \mid g(x) \in D(f)\} \quad \text{или в виде системы} \quad \begin{cases} x \in D(g) \\ g(x) \in D(f) \end{cases} $

Аналогично, область определения сложной функции $y = g(f(x))$, обозначаемая $D(g \circ f)$, находится из системы условий:

$ D(g \circ f) = \{x \in D(f) \mid f(x) \in D(g)\} \quad \text{или в виде системы} \quad \begin{cases} x \in D(f) \\ f(x) \in D(g) \end{cases} $

где $D(f)$ и $D(g)$ — области определения функций $f(x)$ и $g(x)$ соответственно.

Поскольку в условии не приведены функции из задачи 1.95, решим задачу для нескольких характерных пар функций, которые могли бы быть в этой задаче.

а) Пусть даны функции $f(x) = \sqrt{x-1}$ и $g(x) = \frac{1}{x}$.

Сначала найдем области определения исходных функций:

$D(f)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Таким образом, $D(f) = [1, +\infty)$.

$D(g)$: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$. Таким образом, $D(g) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Нахождение области определения $f(g(x))$:

Область определения функции $f(g(x)) = \sqrt{\frac{1}{x}-1}$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(g) \\ g(x) \in D(f) \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0 \\ \frac{1}{x} \ge 1 \end{cases} $

Решим второе неравенство: $\frac{1}{x} - 1 \ge 0 \implies \frac{1-x}{x} \ge 0$.

Применим метод интервалов. Нули числителя: $1-x=0 \implies x=1$. Нуль знаменателя: $x=0$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{1-x}{x}$ на полученных интервалах.

Нас интересует, где выражение неотрицательно ($\ge 0$). Это интервал $(0, 1]$. Это решение удовлетворяет первому условию $x \neq 0$.
Следовательно, область определения функции $f(g(x))$ есть $(0, 1]$.

Нахождение области определения $g(f(x))$:

Область определения функции $g(f(x)) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(f) \\ f(x) \in D(g) \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ \sqrt{x-1} \neq 0 \end{cases} $

Из второго условия $\sqrt{x-1} \neq 0 \implies x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Объединяя условия $x \ge 1$ и $x \neq 1$, получаем $x > 1$.

Следовательно, область определения функции $g(f(x))$ есть $(1, +\infty)$.

Ответ: область определения $f(g(x))$ есть $(0, 1]$; область определения $g(f(x))$ есть $(1, +\infty)$.

б) Пусть даны функции $f(x) = \arcsin(x)$ и $g(x) = 2x - \frac{1}{2}$.

Области определения исходных функций:

$D(f)$: аргумент арксинуса должен быть в пределах от -1 до 1 включительно, т.е. $D(f) = [-1, 1]$.

$D(g)$: функция является линейной, она определена для всех действительных чисел, т.е. $D(g) = (-\infty, +\infty)$ или $D(g) = \mathbb{R}$.

Нахождение области определения $f(g(x))$:

Область определения функции $f(g(x)) = \arcsin(2x - \frac{1}{2})$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(g) \\ g(x) \in D(f) \end{cases} \implies \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ -1 \le 2x - \frac{1}{2} \le 1 \end{cases} $

Решаем двойное неравенство:
$-1 + \frac{1}{2} \le 2x \le 1 + \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2} \le 2x \le \frac{3}{2}$
$-\frac{1}{4} \le x \le \frac{3}{4}$

Первое условие $x \in \mathbb{R}$ выполняется. Следовательно, область определения функции $f(g(x))$ есть $[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$.

Нахождение области определения $g(f(x))$:

Область определения функции $g(f(x)) = 2\arcsin(x) - \frac{1}{2}$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(f) \\ f(x) \in D(g) \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ \arcsin(x) \in \mathbb{R} \end{cases} $

Функция $\arcsin(x)$ определена и принимает действительные значения для всех $x \in [-1, 1]$. Поэтому второе условие ($f(x)$ принадлежит области определения $g$, которая есть $\mathbb{R}$) выполняется для всех $x$ из области определения $f(x)$.

Следовательно, область определения функции $g(f(x))$ совпадает с областью определения $f(x)$ и равна $[-1, 1]$.

Ответ: область определения $f(g(x))$ есть $[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$; область определения $g(f(x))$ есть $[-1, 1]$.

в) Пусть даны функции $f(x) = \log_2(x+3)$ и $g(x) = x^2 - 1$.

Области определения исходных функций:

$D(f)$: аргумент логарифма должен быть строго положительным, т.е. $x+3 > 0 \implies x > -3$. Таким образом, $D(f) = (-3, +\infty)$.

$D(g)$: функция является многочленом, она определена для всех действительных чисел, т.е. $D(g) = \mathbb{R}$.

Нахождение области определения $f(g(x))$:

Область определения функции $f(g(x)) = \log_2((x^2-1)+3) = \log_2(x^2+2)$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(g) \\ g(x) \in D(f) \end{cases} \implies \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ x^2 - 1 > -3 \end{cases} $

Решаем второе неравенство: $x^2 - 1 > -3 \implies x^2 > -2$.

Это неравенство справедливо для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), а значит всегда больше -2.

Следовательно, область определения функции $f(g(x))$ есть все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Нахождение области определения $g(f(x))$:

Область определения функции $g(f(x)) = (\log_2(x+3))^2 - 1$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(f) \\ f(x) \in D(g) \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ \log_2(x+3) \in \mathbb{R} \end{cases} $

Функция $\log_2(x+3)$ определена и принимает действительные значения для всех $x$ из своей области определения, т.е. для $x > -3$. Таким образом, второе условие не накладывает дополнительных ограничений.

Следовательно, область определения функции $g(f(x))$ совпадает с областью определения $f(x)$ и равна $(-3, +\infty)$.

Ответ: область определения $f(g(x))$ есть $(-\infty, +\infty)$; область определения $g(f(x))$ есть $(-3, +\infty)$.