Номер 1.102, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.102. Выразите объем куба через площадь его поверхности. Как связана эта задача с понятием обратной функции и сложной функции?

Выразите объем куба через площадь его поверхности.

Пусть $a$ – длина ребра куба. Тогда объем куба $V$ и площадь его полной поверхности $S$ выражаются через $a$ следующими формулами:
Объем: $V = a^3$
Площадь поверхности: $S = 6a^2$, так как куб имеет 6 одинаковых квадратных граней, площадь каждой из которых равна $a^2$.

Для того чтобы выразить объем $V$ через площадь поверхности $S$, необходимо сначала выразить длину ребра $a$ через $S$. Сделаем это из формулы для площади поверхности:
$S = 6a^2$
$a^2 = \frac{S}{6}$
Поскольку длина ребра $a$ является положительной величиной, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

Теперь подставим полученное выражение для $a$ в формулу для объема $V$:
$V = a^3 = \left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^3$
Данное выражение можно упростить. Возведем в степень числитель и знаменатель:
$V = \frac{(\sqrt{S})^3}{(\sqrt{6})^3} = \frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$V = \frac{S\sqrt{S} \cdot \sqrt{6}}{6\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{S\sqrt{6S}}{6 \cdot 6} = \frac{S\sqrt{6S}}{36}$
Ответ: $V = \left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^3$, что эквивалентно $V = \frac{S\sqrt{6S}}{36}$.

Как связана эта задача с понятием обратной функции и сложной функции?

Связь с данными понятиями становится ясной, если рассматривать объем и площадь поверхности как функции от длины ребра $a$, где $a>0$.
1. Функция зависимости площади поверхности от длины ребра: $S(a) = 6a^2$.
2. Функция зависимости объема от длины ребра: $V(a) = a^3$.

Связь с понятием обратной функции:
Первый шаг решения задачи — нахождение длины ребра $a$ по известной площади поверхности $S$. Математически это соответствует нахождению функции, обратной к $S(a)$. Функция $a(S) = \sqrt{\frac{S}{6}}$ является обратной к функции $S(a) = 6a^2$ (на области определения $a>0$). Таким образом, для решения задачи мы используем обратную функцию, чтобы "инвертировать" зависимость и выразить аргумент ($a$) через значение функции ($S$).

Связь с понятием сложной функции:
Второй шаг — нахождение объема, используя полученную на первом шаге зависимость $a(S)$. Мы подставляем выражение для $a$ в формулу объема $V(a)$. Эта операция является созданием сложной функции (или композиции функций). Мы вычисляем $V$ от $a(S)$:
$V(S) = V(a(S)) = \left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^3$
Таким образом, искомая зависимость объема от площади поверхности $V(S)$ представляет собой композицию функции объема $V$ и функции $a(S)$, которая, в свою очередь, является обратной к функции площади поверхности $S(a)$. В формальной записи это выглядит как $V(S) = (V \circ S^{-1})(S)$.
Ответ: Чтобы выразить объем через площадь поверхности, мы сначала находим функцию, обратную к функции зависимости площади от ребра куба ($a(S)=S^{-1}(S)$), а затем составляем сложную функцию, подставляя эту обратную функцию в функцию зависимости объема от ребра ($V(S) = V(S^{-1}(S))$).