Номер 2.1, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.1. В какой координатной четверти находится угол φ, если:

1) $\vert\sin \varphi\vert = \sin \varphi$;

2) $\vert\sin \varphi\vert = \sin(-\varphi)$;

3) $\vert\cos \varphi\vert = -\cos \varphi$;

4) $\vert\cos(-\varphi)\vert = \cos \varphi$;

5) $\vert\operatorname{tg} \varphi\vert = -\operatorname{tg} \varphi$;

6) $\vert\operatorname{ctg} \varphi\vert = \operatorname{ctg} \varphi$?

Для решения данных задач используется определение модуля числа и знаки тригонометрических функций в координатных четвертях. Модуль числа $|x|$ равен самому числу $x$, если $x \ge 0$, и равен противоположному числу $-x$, если $x \le 0$.

Знаки тригонометрических функций по четвертям можно представить на следующей схеме:

1) $|\sin \phi| = \sin \phi$
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $\sin \phi \ge 0$. Синус является неотрицательным в первой и второй координатных четвертях, а также на их границах (при углах $\phi = k\pi$, где $k$ — целое число).
Следовательно, угол $\phi$ находится в I или II координатной четверти.
Ответ: I или II координатная четверть.

2) $|\sin \phi| = \sin(-\phi)$
Поскольку синус — нечетная функция, то $\sin(-\phi) = -\sin \phi$. Тогда исходное уравнение принимает вид $|\sin \phi| = -\sin \phi$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $\sin \phi \le 0$. Синус является неположительным в третьей и четвертой координатных четвертях, а также на их границах (при углах $\phi = \pi + k\pi = (k+1)\pi$, где $k$ — целое число).
Следовательно, угол $\phi$ находится в III или IV координатной четверти.
Ответ: III или IV координатная четверть.

3) $|\cos \phi| = -\cos \phi$
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $\cos \phi \le 0$. Косинус является неположительным во второй и третьей координатных четвертях, а также на их границах (при углах $\phi = \pi/2 + k\pi$, где $k$ — целое число).
Следовательно, угол $\phi$ находится во II или III координатной четверти.
Ответ: II или III координатная четверть.

4) $|\cos(-\phi)| = \cos \phi$
Поскольку косинус — четная функция, то $\cos(-\phi) = \cos \phi$. Тогда исходное уравнение принимает вид $|\cos \phi| = \cos \phi$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $\cos \phi \ge 0$. Косинус является неотрицательным в первой и четвертой координатных четвертях, а также на их границах (при углах $\phi = \pi/2 + k\pi$, где $k$ — целое число).
Следовательно, угол $\phi$ находится в I или IV координатной четверти.
Ответ: I или IV координатная четверть.

5) $|\tg \phi| = -\tg \phi$
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $\tg \phi \le 0$. Тангенс является неположительным во второй и четвертой координатных четвертях. Он равен нулю при углах $\phi = k\pi$, где $k$ — целое число.
Следовательно, угол $\phi$ находится во II или IV координатной четверти.
Ответ: II или IV координатная четверть.

6) $|\ctg \phi| = \ctg \phi$
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $\ctg \phi \ge 0$. Котангенс является неотрицательным в первой и третьей координатных четвертях. Он равен нулю при углах $\phi = \pi/2 + k\pi$, где $k$ — целое число.
Следовательно, угол $\phi$ находится в I или III координатной четверти.
Ответ: I или III координатная четверть.