Номер 2.6, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.6. Функция $y = f(x)$ является периодической. Покажите, что функция $y = |f(x)|$ также является периодической. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = |\sin x|$;

2) $y = |\cos x|$.

Пусть функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T$, где $T > 0$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = |f(x)|$. Нам нужно показать, что она также является периодической. Для этого проверим, выполняется ли для нее условие периодичности с тем же периодом $T$.

$g(x + T) = |f(x + T)|$

Поскольку $f(x)$ периодична с периодом $T$, мы можем заменить $f(x + T)$ на $f(x)$:

$|f(x + T)| = |f(x)|$

А так как $g(x) = |f(x)|$, то мы получаем:

$g(x + T) = g(x)$

Это доказывает, что функция $y = |f(x)|$ также является периодической, и ее период не превышает периода функции $f(x)$.

Теперь найдем наименьшие положительные периоды для заданных функций.

1) $y = |\sin x|$

Функция $f(x) = \sin x$ является периодической, ее наименьший положительный период равен $2\pi$. Следовательно, функция $y = |\sin x|$ также является периодической, и ее период не превышает $2\pi$.

Проверим, не является ли число $\pi$ периодом для функции $y = |\sin x|$. Используем формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$:

$|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x|$

Равенство выполняется для любого $x$, следовательно, $\pi$ является периодом функции $y = |\sin x|$.

Докажем, что это наименьший положительный период. Предположим, что существует период $T_0$ такой, что $0 < T_0 < \pi$. Тогда для всех $x$ должно выполняться равенство $|\sin(x + T_0)| = |\sin x|$.

Если мы возьмем $x = 0$, то получим:

$|\sin(0 + T_0)| = |\sin 0|$

$|\sin(T_0)| = 0$

Отсюда $\sin(T_0) = 0$. Решениями этого уравнения являются числа вида $T_0 = k\pi$, где $k$ — целое число. Так как мы ищем положительный период $T_0 > 0$, то $k$ должно быть натуральным числом ($k=1, 2, 3, \ldots$). Наименьшее положительное решение — $\pi$ (при $k=1$).

Это противоречит нашему предположению, что $0 < T_0 < \pi$. Следовательно, периода, меньшего чем $\pi$, не существует.

На графике ниже показаны функции $y=\sin x$ (пунктирная линия) и $y=|\sin x|$ (сплошная линия). Видно, что отрицательная часть синусоиды зеркально отражается относительно оси абсцисс, и период функции в результате уменьшается вдвое.

Ответ: $\pi$.

2) $y = |\cos x|$

Функция $f(x) = \cos x$ является периодической, ее наименьший положительный период равен $2\pi$. Следовательно, функция $y = |\cos x|$ также является периодической.

Проверим, является ли число $\pi$ периодом для функции $y = |\cos x|$. Используем формулу приведения $\cos(x + \pi) = -\cos x$:

$|\cos(x + \pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$

Равенство выполняется для любого $x$, следовательно, $\pi$ является периодом функции $y = |\cos x|$.

Докажем, что это наименьший положительный период. Предположим, что существует период $T_0$ такой, что $0 < T_0 < \pi$. Тогда для всех $x$ должно выполняться равенство $|\cos(x + T_0)| = |\cos x|$.

Если мы возьмем $x = \pi/2$, то получим:

$|\cos(\pi/2 + T_0)| = |\cos(\pi/2)|$

$|-\sin(T_0)| = 0$

$|\sin(T_0)| = 0$

Отсюда $\sin(T_0) = 0$. Наименьшее положительное решение этого уравнения есть $T_0 = \pi$.

Это противоречит нашему предположению, что $0 < T_0 < \pi$. Следовательно, периода, меньшего чем $\pi$, не существует.

На графике ниже показаны функции $y=\cos x$ (пунктирная линия) и $y=|\cos x|$ (сплошная линия). Как и в случае с синусом, период уменьшается вдвое.

Ответ: $\pi$.