Номер 2.9, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.9. На промежутке $(0; \pi)$ найдите экстремумы функции:

1) $y = \sin 3x$;

2) $y = \cos 2x$.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

1) Для функции $y = \sin(3x)$ на промежутке $(0; \pi)$.

Для нахождения экстремумов и промежутков монотонности функции, найдем ее производную.

$y' = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3\cos(3x) = 0$

$\cos(3x) = 0$

Решения этого уравнения имеют вид $3x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - любое целое число.

Отсюда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$.

Теперь выберем те значения $x$, которые попадают в заданный интервал $(0; \pi)$:

При $k=0$: $x_1 = \frac{\pi}{6}$. Это значение принадлежит интервалу $(0; \pi)$.

При $k=1$: $x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Это значение принадлежит интервалу $(0; \pi)$.

При $k=2$: $x_3 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$. Это значение принадлежит интервалу $(0; \pi)$.

При $k=3$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Это значение уже не входит в интервал $(0; \pi)$.

Итак, на интервале $(0; \pi)$ есть три критические точки: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$. Эти точки делят интервал на четыре подинтервала: $(0; \frac{\pi}{6})$, $(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6})$ и $(\frac{5\pi}{6}; \pi)$.

Определим знак производной $y' = 3\cos(3x)$ в каждом из этих подинтервалов:

• Интервал $(0; \frac{\pi}{6})$: возьмем $x = \frac{\pi}{12}$. $y'(\frac{\pi}{12}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{12}) = 3\cos(\frac{\pi}{4}) > 0$. Функция возрастает.
• Интервал $(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$: возьмем $x = \frac{\pi}{3}$. $y'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 3\cos(\pi) < 0$. Функция убывает.
• Интервал $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6})$: возьмем $x = \frac{2\pi}{3}$. $y'(\frac{2\pi}{3}) = 3\cos(3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = 3\cos(2\pi) > 0$. Функция возрастает.
• Интервал $(\frac{5\pi}{6}; \pi)$: возьмем $x = \frac{11\pi}{12}$. $y'(\frac{11\pi}{12}) = 3\cos(3 \cdot \frac{11\pi}{12}) = 3\cos(\frac{11\pi}{4}) < 0$. Функция убывает.

Теперь определим экстремумы. В точках, где производная меняет знак с плюса на минус, находится максимум, а где с минуса на плюс — минимум.

• $x = \frac{\pi}{6}$: знак производной меняется с `+` на `-` $\implies$ точка максимума. $y_{max} = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• $x = \frac{\pi}{2}$: знак производной меняется с `-` на `+` $\implies$ точка минимума. $y_{min} = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -1$.
• $x = \frac{5\pi}{6}$: знак производной меняется с `+` на `-` $\implies$ точка максимума. $y_{max} = \sin(3 \cdot \frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$.

Ответ: Точки экстремума: $x_{max} = \frac{\pi}{6}$, $y_{max} = 1$; $x_{min} = \frac{\pi}{2}$, $y_{min} = -1$; $x_{max} = \frac{5\pi}{6}$, $y_{max} = 1$. Промежутки возрастания: $(0; \frac{\pi}{6})$ и $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6})$. Промежутки убывания: $(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{5\pi}{6}; \pi)$.

2) Для функции $y = \cos(2x)$ на промежутке $(0; \pi)$.

Найдем производную функции:

$y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-2\sin(2x) = 0$

$\sin(2x) = 0$

Решения этого уравнения имеют вид $2x = k\pi$, где $k$ - любое целое число.

Отсюда $x = \frac{k\pi}{2}$.

Выберем значения $x$, которые попадают в интервал $(0; \pi)$:

При $k=0$: $x=0$, не входит в интервал.

При $k=1$: $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение принадлежит интервалу $(0; \pi)$.

При $k=2$: $x = \pi$, не входит в интервал.

Таким образом, на интервале $(0; \pi)$ есть только одна критическая точка: $x = \frac{\pi}{2}$. Она делит интервал на два подинтервала: $(0; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Определим знак производной $y' = -2\sin(2x)$ в каждом из подинтервалов:

• Интервал $(0; \frac{\pi}{2})$: возьмем $x = \frac{\pi}{4}$. $y'(\frac{\pi}{4}) = -2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -2\sin(\frac{\pi}{2}) = -2 < 0$. Функция убывает.
• Интервал $(\frac{\pi}{2}; \pi)$: возьмем $x = \frac{3\pi}{4}$. $y'(\frac{3\pi}{4}) = -2\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = -2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2(-1) = 2 > 0$. Функция возрастает.

Определим экстремум:

• $x = \frac{\pi}{2}$: знак производной меняется с `-` на `+` $\implies$ точка минимума. $y_{min} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: Точка экстремума: $x_{min} = \frac{\pi}{2}$, $y_{min} = -1$. Промежуток возрастания: $(\frac{\pi}{2}; \pi)$. Промежуток убывания: $(0; \frac{\pi}{2})$.