Страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.3. Какое из указанных чисел больше:

1) $\sin 1^\circ$ или $\sin 1$;

2) $\cos 2^\circ$ или $\cos 2$;

3) $\sin 3^\circ$ или $\sin 3$;

4) $\cos 3.5$ или $\cos 6.5$?

1) sin 1° или sin 1

Для сравнения значений тригонометрических функций необходимо привести углы к одной единице измерения. Если у числа не указан знак градуса (°), то по умолчанию угол измеряется в радианах.

Переведем 1 радиан в градусы. Мы знаем, что $ \pi \text{ радиан} = 180^\circ $. Тогда 1 радиан = $ \frac{180^\circ}{\pi} $. Используя приближенное значение $ \pi \approx 3,14159 $, получаем: $ 1 \text{ рад} \approx \frac{180^\circ}{3,14159} \approx 57,3^\circ $.

Теперь нам нужно сравнить $ \sin 1^\circ $ и $ \sin 57,3^\circ $. Оба угла, $ 1^\circ $ и $ 57,3^\circ $, находятся в первой четверти (от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $). В первой четверти функция $ y = \sin x $ возрастает. Это означает, что для $ 0 < x_1 < x_2 < 90^\circ $ выполняется неравенство $ \sin x_1 < \sin x_2 $. Поскольку $ 1^\circ < 57,3^\circ $, то $ \sin 1^\circ < \sin 57,3^\circ $. Следовательно, $ \sin 1^\circ < \sin 1 $.

Ответ: $ \sin 1 $ больше, чем $ \sin 1^\circ $.

2) cos 2° или cos 2

Сравниваем $ \cos 2^\circ $ и $ \cos 2 $ (в радианах).

Переведем 2 радиана в градусы: $ 2 \text{ рад} = 2 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 2 \times 57,3^\circ = 114,6^\circ $.

Теперь сравним $ \cos 2^\circ $ и $ \cos 114,6^\circ $. Угол $ 2^\circ $ находится в первой четверти ($ 0^\circ < 2^\circ < 90^\circ $), где косинус положителен: $ \cos 2^\circ > 0 $. Угол $ 114,6^\circ $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < 114,6^\circ < 180^\circ $), где косинус отрицателен: $ \cos 114,6^\circ < 0 $.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, $ \cos 2^\circ > \cos 114,6^\circ $, что означает $ \cos 2^\circ > \cos 2 $.

Ответ: $ \cos 2^\circ $ больше, чем $ \cos 2 $.

3) sin 3° или sin 3

Сравниваем $ \sin 3^\circ $ и $ \sin 3 $ (в радианах).

Переведем 3 радиана в градусы: $ 3 \text{ рад} = 3 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 3 \times 57,3^\circ = 171,9^\circ $.

Теперь сравним $ \sin 3^\circ $ и $ \sin 171,9^\circ $. Угол $ 3^\circ $ находится в первой четверти, и $ \sin 3^\circ > 0 $. Угол $ 171,9^\circ $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < 171,9^\circ < 180^\circ $), где синус также положителен: $ \sin 171,9^\circ > 0 $.

Чтобы сравнить эти два положительных значения, воспользуемся формулой приведения: $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $. $ \sin 171,9^\circ = \sin(180^\circ - 171,9^\circ) = \sin 8,1^\circ $. Теперь задача сводится к сравнению $ \sin 3^\circ $ и $ \sin 8,1^\circ $. Оба угла, $ 3^\circ $ и $ 8,1^\circ $, находятся в первой четверти, где функция $ y = \sin x $ возрастает. Поскольку $ 3^\circ < 8,1^\circ $, то $ \sin 3^\circ < \sin 8,1^\circ $. Следовательно, $ \sin 3^\circ < \sin 171,9^\circ $, что означает $ \sin 3^\circ < \sin 3 $.

Ответ: $ \sin 3 $ больше, чем $ \sin 3^\circ $.

4) cos 3,5 или cos 6,5?

В этом случае оба угла заданы в радианах. Сравним $ \cos 3,5 $ и $ \cos 6,5 $.

Определим, в каких четвертях лежат углы 3,5 радиан и 6,5 радиан. Используем приближенные значения $ \pi \approx 3,14 $, $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $ и $ 2\pi \approx 6,28 $.

Для угла 3,5 радиан: Поскольку $ \pi \approx 3,14 $ и $ \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $, то $ \pi < 3,5 < \frac{3\pi}{2} $. Это означает, что угол 3,5 радиан находится в третьей четверти. В третьей четверти косинус отрицателен: $ \cos 3,5 < 0 $.

Для угла 6,5 радиан: Поскольку $ 6,5 > 2\pi \approx 6,28 $, мы можем рассмотреть угол, который отличается от данного на полный оборот $ 2\pi $. $ 6,5 - 2\pi \approx 6,5 - 6,28 = 0,22 $. Угол 0,22 радиан находится в первой четверти, так как $ 0 < 0,22 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $. Косинус в первой четверти положителен, поэтому $ \cos 6,5 = \cos(6,5 - 2\pi) > 0 $.

Сравнивая $ \cos 3,5 $ (отрицательное число) и $ \cos 6,5 $ (положительное число), мы заключаем, что $ \cos 6,5 > \cos 3,5 $.

Ответ: $ \cos 6,5 $ больше, чем $ \cos 3,5 $.

2.4. Сравните числа:

1) $ \sin \frac{7\pi}{5} $ и $ \sin \frac{17\pi}{10} $;

2) $ \cos \frac{6\pi}{5} $ и $ \cos \frac{4\pi}{5} $;

3) $ \text{tg } 1,5 $ и $ \text{tg } 1,6 $;

4) $ \text{tg } 3,14 $ и $ \text{tg } \pi $;

5) $ \text{ctg } \frac{8\pi}{5} $ и $ \text{ctg } \frac{7\pi}{5} $;

6) $ \text{ctg } \frac{\pi}{2} $ и $ \text{ctg } 1,5 $.

1) Сравним $sin\frac{7\pi}{5}$ и $sin\frac{17\pi}{10}$. Для этого определим положение углов на тригонометрической окружности. Угол $\frac{7\pi}{5} = 1.4\pi$ находится в III четверти, так как $\pi < 1.4\pi < \frac{3\pi}{2}$. Угол $\frac{17\pi}{10} = 1.7\pi$ находится в IV четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < 1.7\pi < 2\pi$. В обеих этих четвертях синус отрицателен. Используем формулы приведения: $sin\frac{7\pi}{5} = sin(\pi + \frac{2\pi}{5}) = -sin\frac{2\pi}{5}$ и $sin\frac{17\pi}{10} = sin(2\pi - \frac{3\pi}{10}) = -sin\frac{3\pi}{10}$. Сравнение сводится к сравнению $-sin\frac{2\pi}{5}$ и $-sin\frac{3\pi}{10}$. Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{10}$. Теперь сравним $sin\frac{4\pi}{10}$ и $sin\frac{3\pi}{10}$. Оба угла $\frac{3\pi}{10}$ и $\frac{4\pi}{10}$ находятся в I четверти, где функция $y=sin(x)$ возрастает. Так как $\frac{4\pi}{10} > \frac{3\pi}{10}$, то $sin\frac{4\pi}{10} > sin\frac{3\pi}{10}$. При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-sin\frac{4\pi}{10} < -sin\frac{3\pi}{10}$. Таким образом, $sin\frac{7\pi}{5} < sin\frac{17\pi}{10}$. Ответ: $sin\frac{7\pi}{5} < sin\frac{17\pi}{10}$.

2) Сравним $cos\frac{6\pi}{5}$ и $cos\frac{4\pi}{5}$. Углы $\frac{4\pi}{5}$ и $\frac{6\pi}{5}$ симметричны относительно точки $\pi$ на числовой окружности. Расстояние от каждого из них до $\pi$ одинаково и равно $\frac{\pi}{5}$. Используем формулы приведения: $cos\frac{4\pi}{5} = cos(\pi - \frac{\pi}{5}) = -cos\frac{\pi}{5}$. Аналогично, $cos\frac{6\pi}{5} = cos(\pi + \frac{\pi}{5}) = -cos\frac{\pi}{5}$. Так как правые части выражений равны, то равны и левые. Ответ: $cos\frac{6\pi}{5} = cos\frac{4\pi}{5}$.

3) Сравним $tg 1,5$ и $tg 1,6$. Углы даны в радианах. Определим, в каких четвертях они находятся, сравнив их с числом $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,1416}{2} \approx 1,5708$. Угол $1,5$ радиан меньше, чем $\frac{\pi}{2}$, значит, он находится в I четверти, где тангенс положителен: $tg 1,5 > 0$. Угол $1,6$ радиан больше, чем $\frac{\pi}{2}$, но меньше $\pi \approx 3,1416$, значит, он находится во II четверти, где тангенс отрицателен: $tg 1,6 < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного. Ответ: $tg 1,5 > tg 1,6$.

4) Сравним $tg 3,14$ и $tg \pi$. Значение $tg \pi = 0$. Угол $3,14$ радиан находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57 < 3,14 < \pi \approx 3,1416$. Во II четверти тангенс отрицателен, следовательно $tg 3,14 < 0$. Сравнивая отрицательное число с нулем, получаем $tg 3,14 < 0 = tg \pi$. Ответ: $tg 3,14 < tg \pi$.

5) Сравним $ctg\frac{8\pi}{5}$ и $ctg\frac{7\pi}{5}$. Определим четверти для данных углов. Угол $\frac{7\pi}{5} = 1,4\pi$ находится в III четверти ($\pi < 1,4\pi < \frac{3\pi}{2}$), где котангенс положителен: $ctg\frac{7\pi}{5} > 0$. Угол $\frac{8\pi}{5} = 1,6\pi$ находится в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < 1,6\pi < 2\pi$), где котангенс отрицателен: $ctg\frac{8\pi}{5} < 0$. Отрицательное число всегда меньше положительного. Ответ: $ctg\frac{8\pi}{5} < ctg\frac{7\pi}{5}$.

6) Сравним $ctg\frac{\pi}{2}$ и $ctg 1,5$. Значение $ctg\frac{\pi}{2} = 0$. Угол $1,5$ радиан находится в I четверти, так как $0 < 1,5 < \frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. В I четверти котангенс положителен, то есть $ctg 1,5 > 0$. Сравнивая ноль с положительным числом, получаем $0 < ctg 1,5$. Ответ: $ctg\frac{\pi}{2} < ctg 1,5$.

2.5. Является ли число $3\pi$ периодом функции: 1) $y = \sin 2x$; 2) $y = \operatorname{tg} x$; 3) $y = \cos 4x$?

Является ли оно наименьшим положительным периодом этих функций? Найдите наименьший положительный период указанных функций.

1) $y = \sin 2x$

Чтобы определить, является ли число $T$ периодом функции $f(x)$, необходимо проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$ для любого $x$ из области определения функции. В данном случае $f(x) = \sin 2x$ и $T = 3\pi$.

Проверим: $f(x+3\pi) = \sin(2(x+3\pi)) = \sin(2x + 6\pi)$.

Поскольку функция синус имеет период $2\pi$, то $\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin(\alpha)$ для любого целого числа $k$. В нашем случае $\alpha = 2x$ и $k=3$, поэтому $\sin(2x + 6\pi) = \sin(2x)$.

Так как $f(x+3\pi) = f(x)$, число $3\pi$ является периодом функции $y = \sin 2x$.

Теперь найдем наименьший положительный период $T_0$ функции. Для функции вида $y = \sin(kx)$ наименьший положительный период находится по формуле $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $y = \sin 2x$ коэффициент $k=2$, следовательно, наименьший положительный период: $T_0 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Так как $\pi < 3\pi$, число $3\pi$ не является наименьшим положительным периодом.

Ответ: Да, число $3\pi$ является периодом функции. Нет, оно не является наименьшим положительным периодом. Наименьший положительный период равен $\pi$.

2) $y = \tan x$

Проверим, является ли $T = 3\pi$ периодом функции $f(x) = \tan x$, используя равенство $f(x+T) = f(x)$.

$f(x+3\pi) = \tan(x+3\pi)$.

Основной период функции тангенс равен $\pi$, поэтому $\tan(\alpha + k\pi) = \tan(\alpha)$ для любого целого числа $k$. В данном случае $\alpha = x$ и $k=3$.

Следовательно, $\tan(x+3\pi) = \tan(x) = f(x)$, что означает, что $3\pi$ является периодом функции $y = \tan x$.

Наименьший положительный период для функции вида $y = \tan(kx)$ находится по формуле $T_0 = \frac{\pi}{|k|}$. Для функции $y = \tan x$ имеем $k=1$.

$T_0 = \frac{\pi}{1} = \pi$.

Так как $3\pi \neq \pi$, число $3\pi$ не является наименьшим положительным периодом.

Ответ: Да, число $3\pi$ является периодом функции. Нет, оно не является наименьшим положительным периодом. Наименьший положительный период равен $\pi$.

3) $y = \cos 4x$

Проверим, является ли $T = 3\pi$ периодом функции $f(x) = \cos 4x$.

$f(x+3\pi) = \cos(4(x+3\pi)) = \cos(4x + 12\pi)$.

Основной период функции косинус равен $2\pi$, поэтому $\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos(\alpha)$ для любого целого числа $k$. В данном случае $\alpha = 4x$ и $k=6$, так как $12\pi = 6 \cdot 2\pi$.

Следовательно, $\cos(4x+12\pi) = \cos(4x) = f(x)$, что доказывает, что $3\pi$ является периодом функции $y = \cos 4x$.

Наименьший положительный период для функции вида $y = \cos(kx)$ находится по формуле $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $y = \cos 4x$ имеем $k=4$.

$T_0 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Так как $\frac{\pi}{2} < 3\pi$, число $3\pi$ не является наименьшим положительным периодом.

Ответ: Да, число $3\pi$ является периодом функции. Нет, оно не является наименьшим положительным периодом. Наименьший положительный период равен $\frac{\pi}{2}$.

2.6. Функция $y = f(x)$ является периодической. Покажите, что функция $y = |f(x)|$ также является периодической. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = |\sin x|$;

2) $y = |\cos x|$.

Пусть функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T$, где $T > 0$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = |f(x)|$. Нам нужно показать, что она также является периодической. Для этого проверим, выполняется ли для нее условие периодичности с тем же периодом $T$.

$g(x + T) = |f(x + T)|$

Поскольку $f(x)$ периодична с периодом $T$, мы можем заменить $f(x + T)$ на $f(x)$:

$|f(x + T)| = |f(x)|$

А так как $g(x) = |f(x)|$, то мы получаем:

$g(x + T) = g(x)$

Это доказывает, что функция $y = |f(x)|$ также является периодической, и ее период не превышает периода функции $f(x)$.

Теперь найдем наименьшие положительные периоды для заданных функций.

1) $y = |\sin x|$

Функция $f(x) = \sin x$ является периодической, ее наименьший положительный период равен $2\pi$. Следовательно, функция $y = |\sin x|$ также является периодической, и ее период не превышает $2\pi$.

Проверим, не является ли число $\pi$ периодом для функции $y = |\sin x|$. Используем формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$:

$|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x|$

Равенство выполняется для любого $x$, следовательно, $\pi$ является периодом функции $y = |\sin x|$.

Докажем, что это наименьший положительный период. Предположим, что существует период $T_0$ такой, что $0 < T_0 < \pi$. Тогда для всех $x$ должно выполняться равенство $|\sin(x + T_0)| = |\sin x|$.

Если мы возьмем $x = 0$, то получим:

$|\sin(0 + T_0)| = |\sin 0|$

$|\sin(T_0)| = 0$

Отсюда $\sin(T_0) = 0$. Решениями этого уравнения являются числа вида $T_0 = k\pi$, где $k$ — целое число. Так как мы ищем положительный период $T_0 > 0$, то $k$ должно быть натуральным числом ($k=1, 2, 3, \ldots$). Наименьшее положительное решение — $\pi$ (при $k=1$).

Это противоречит нашему предположению, что $0 < T_0 < \pi$. Следовательно, периода, меньшего чем $\pi$, не существует.

На графике ниже показаны функции $y=\sin x$ (пунктирная линия) и $y=|\sin x|$ (сплошная линия). Видно, что отрицательная часть синусоиды зеркально отражается относительно оси абсцисс, и период функции в результате уменьшается вдвое.

Ответ: $\pi$.

2) $y = |\cos x|$

Функция $f(x) = \cos x$ является периодической, ее наименьший положительный период равен $2\pi$. Следовательно, функция $y = |\cos x|$ также является периодической.

Проверим, является ли число $\pi$ периодом для функции $y = |\cos x|$. Используем формулу приведения $\cos(x + \pi) = -\cos x$:

$|\cos(x + \pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$

Равенство выполняется для любого $x$, следовательно, $\pi$ является периодом функции $y = |\cos x|$.

Докажем, что это наименьший положительный период. Предположим, что существует период $T_0$ такой, что $0 < T_0 < \pi$. Тогда для всех $x$ должно выполняться равенство $|\cos(x + T_0)| = |\cos x|$.

Если мы возьмем $x = \pi/2$, то получим:

$|\cos(\pi/2 + T_0)| = |\cos(\pi/2)|$

$|-\sin(T_0)| = 0$

$|\sin(T_0)| = 0$

Отсюда $\sin(T_0) = 0$. Наименьшее положительное решение этого уравнения есть $T_0 = \pi$.

Это противоречит нашему предположению, что $0 < T_0 < \pi$. Следовательно, периода, меньшего чем $\pi$, не существует.

На графике ниже показаны функции $y=\cos x$ (пунктирная линия) и $y=|\cos x|$ (сплошная линия). Как и в случае с синусом, период уменьшается вдвое.

Ответ: $\pi$.

2.7. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{\sin x}$;

2) $y=\sqrt{\sin(-x)}$;

3) $y=\sqrt{\cos(-x)}$;

4) $y=\sqrt{-\text{tg}(-x)}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{\sin x}$ задается неравенством, согласно которому выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. Таким образом, мы должны решить неравенство $\sin x \ge 0$.
Функция синус принимает неотрицательные значения в первой и второй координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует дуге от $0$ до $\pi$.
Учитывая периодичность синуса, которая равна $2\pi$, общее решение неравенства имеет вид:
$2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $y = \sqrt{\sin(-x)}$ область определения находится из условия $\sin(-x) \ge 0$.
Синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.
Подставив это в наше неравенство, получаем $-\sin x \ge 0$, что эквивалентно $\sin x \le 0$.
Функция синус принимает неположительные значения в третьей и четвертой координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует дуге от $\pi$ до $2\pi$.
С учетом периодичности функции синус, общее решение неравенства:
$\pi + 2\pi k \le x \le 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\cos(-x)}$ задается условием $\cos(-x) \ge 0$.
Косинус является четной функцией, то есть $\cos(-x) = \cos x$.
Таким образом, неравенство принимает вид $\cos x \ge 0$.
Функция косинус принимает неотрицательные значения в первой и четвертой координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует дуге от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.
Учитывая периодичность косинуса, которая равна $2\pi$, общее решение неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $y = \sqrt{-\tg(-x)}$ необходимо выполнение двух условий. Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-\tg(-x) \ge 0$. Во-вторых, сам тангенс должен быть определен.
Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\tg(-x) = -\tg x$. Подставим это в неравенство:
$-(-\tg x) \ge 0$
$\tg x \ge 0$
Неравенство $\tg x \ge 0$ выполняется, когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые знаки, то есть в первой и третьей координатных четвертях. При этом тангенс не определен в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Решением неравенства $\tg x \ge 0$ являются промежутки, где $x$ принадлежит $[k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$. Это решение уже исключает точки, в которых тангенс не определен.
Ответ: $x \in [k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi), k \in \mathbb{Z}$.

2.8. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\frac{1}{\sin x - 1}$;

2) $\frac{1}{1 + \cos x}$;

3) $\frac{1}{\sqrt[3]{\sin x}}$;

4) $\sqrt[3]{\cos(-x)}$;

5) $\sqrt{\operatorname{tg}^3(-x)}$;

6) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2x}\right)?$

1) Выражение $\frac{1}{\sin x - 1}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Требуется выполнение условия: $\sin x - 1 \neq 0$.
Это равносильно $\sin x \neq 1$.
Уравнение $\sin x = 1$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме указанных.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Выражение $\frac{1}{1 + \cos x}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Требуется выполнение условия: $1 + \cos x \neq 0$.
Это равносильно $\cos x \neq -1$.
Уравнение $\cos x = -1$ имеет решения $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме указанных.
Ответ: $x \neq \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Выражение $\frac{1}{\sqrt[3]{\sin x}}$ имеет смысл, когда выражение в знаменателе определено и не равно нулю. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного числа, поэтому единственное ограничение — это равенство знаменателя нулю.
$\sqrt[3]{\sin x} \neq 0$
Возведя обе части в куб, получаем:
$\sin x \neq 0$
Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме указанных.
Ответ: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Выражение $\sqrt[3]{\cos(-x)}$ представляет собой корень нечетной (третьей) степени. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения.
Функция $\cos(-x)$ является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$, и определена для всех действительных значений $x$.
Поскольку подкоренное выражение $\cos x$ определено для любого $x$, то и все выражение имеет смысл при любых значениях $x$.
Ответ: $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

5) Выражение $\sqrt{\text{tg}^3(-x)}$ имеет смысл, когда выполнены два условия:
1. Выражение под корнем четной (квадратной) степени должно быть неотрицательным: $\text{tg}^3(-x) \ge 0$. Это неравенство равносильно неравенству $\text{tg}(-x) \ge 0$. Так как тангенс является нечетной функцией, $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$. Получаем неравенство $-\text{tg}(x) \ge 0$, что равносильно $\text{tg}(x) \le 0$.
2. Сама функция тангенса должна быть определена. $\text{tg}(-x)$ определен, когда его аргумент $-x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq -\frac{\pi}{2} - \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), что совпадает с областью определения $\text{tg}(x)$.
Решаем неравенство $\text{tg}(x) \le 0$ с учетом области определения. Тангенс равен нулю или отрицателен, когда угол $x$ находится во второй или четвертой координатной четверти (включая концы промежутков, где $\text{tg}(x) = 0$, но исключая те, где он не определен).
Это соответствует промежуткам вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

6) Выражение $\text{tg}(\frac{\pi}{2x})$ имеет смысл, когда выполнены два условия:
1. Аргумент тангенса, $\frac{\pi}{2x}$, должен быть определен. Это требует, чтобы знаменатель был не равен нулю: $x \neq 0$.
2. Функция тангенса от аргумента определена, если сам аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{\pi}{2x} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{1}{2x} \neq \frac{1}{2} + n$
$\frac{1}{2x} \neq \frac{1+2n}{2}$
Так как $1+2n$ (любое нечетное число) не может быть нулем, мы можем взять обратные величины от обеих частей:
$2x \neq \frac{2}{1+2n}$
$x \neq \frac{1}{1+2n}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя оба условия, получаем итоговые ограничения на $x$.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq \frac{1}{2n+1}, n \in \mathbb{Z}$.

2.9. На промежутке $(0; \pi)$ найдите экстремумы функции:

1) $y = \sin 3x$;

2) $y = \cos 2x$.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

1) Для функции $y = \sin(3x)$ на промежутке $(0; \pi)$.

Для нахождения экстремумов и промежутков монотонности функции, найдем ее производную.

$y' = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3\cos(3x) = 0$

$\cos(3x) = 0$

Решения этого уравнения имеют вид $3x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - любое целое число.

Отсюда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$.

Теперь выберем те значения $x$, которые попадают в заданный интервал $(0; \pi)$:

При $k=0$: $x_1 = \frac{\pi}{6}$. Это значение принадлежит интервалу $(0; \pi)$.

При $k=1$: $x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Это значение принадлежит интервалу $(0; \pi)$.

При $k=2$: $x_3 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$. Это значение принадлежит интервалу $(0; \pi)$.

При $k=3$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Это значение уже не входит в интервал $(0; \pi)$.

Итак, на интервале $(0; \pi)$ есть три критические точки: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$. Эти точки делят интервал на четыре подинтервала: $(0; \frac{\pi}{6})$, $(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6})$ и $(\frac{5\pi}{6}; \pi)$.

Определим знак производной $y' = 3\cos(3x)$ в каждом из этих подинтервалов:

• Интервал $(0; \frac{\pi}{6})$: возьмем $x = \frac{\pi}{12}$. $y'(\frac{\pi}{12}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{12}) = 3\cos(\frac{\pi}{4}) > 0$. Функция возрастает.
• Интервал $(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$: возьмем $x = \frac{\pi}{3}$. $y'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 3\cos(\pi) < 0$. Функция убывает.
• Интервал $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6})$: возьмем $x = \frac{2\pi}{3}$. $y'(\frac{2\pi}{3}) = 3\cos(3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = 3\cos(2\pi) > 0$. Функция возрастает.
• Интервал $(\frac{5\pi}{6}; \pi)$: возьмем $x = \frac{11\pi}{12}$. $y'(\frac{11\pi}{12}) = 3\cos(3 \cdot \frac{11\pi}{12}) = 3\cos(\frac{11\pi}{4}) < 0$. Функция убывает.

Теперь определим экстремумы. В точках, где производная меняет знак с плюса на минус, находится максимум, а где с минуса на плюс — минимум.

• $x = \frac{\pi}{6}$: знак производной меняется с `+` на `-` $\implies$ точка максимума. $y_{max} = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• $x = \frac{\pi}{2}$: знак производной меняется с `-` на `+` $\implies$ точка минимума. $y_{min} = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -1$.
• $x = \frac{5\pi}{6}$: знак производной меняется с `+` на `-` $\implies$ точка максимума. $y_{max} = \sin(3 \cdot \frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$.

Ответ: Точки экстремума: $x_{max} = \frac{\pi}{6}$, $y_{max} = 1$; $x_{min} = \frac{\pi}{2}$, $y_{min} = -1$; $x_{max} = \frac{5\pi}{6}$, $y_{max} = 1$. Промежутки возрастания: $(0; \frac{\pi}{6})$ и $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6})$. Промежутки убывания: $(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{5\pi}{6}; \pi)$.

2) Для функции $y = \cos(2x)$ на промежутке $(0; \pi)$.

Найдем производную функции:

$y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-2\sin(2x) = 0$

$\sin(2x) = 0$

Решения этого уравнения имеют вид $2x = k\pi$, где $k$ - любое целое число.

Отсюда $x = \frac{k\pi}{2}$.

Выберем значения $x$, которые попадают в интервал $(0; \pi)$:

При $k=0$: $x=0$, не входит в интервал.

При $k=1$: $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение принадлежит интервалу $(0; \pi)$.

При $k=2$: $x = \pi$, не входит в интервал.

Таким образом, на интервале $(0; \pi)$ есть только одна критическая точка: $x = \frac{\pi}{2}$. Она делит интервал на два подинтервала: $(0; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Определим знак производной $y' = -2\sin(2x)$ в каждом из подинтервалов:

• Интервал $(0; \frac{\pi}{2})$: возьмем $x = \frac{\pi}{4}$. $y'(\frac{\pi}{4}) = -2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -2\sin(\frac{\pi}{2}) = -2 < 0$. Функция убывает.
• Интервал $(\frac{\pi}{2}; \pi)$: возьмем $x = \frac{3\pi}{4}$. $y'(\frac{3\pi}{4}) = -2\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = -2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2(-1) = 2 > 0$. Функция возрастает.

Определим экстремум:

• $x = \frac{\pi}{2}$: знак производной меняется с `-` на `+` $\implies$ точка минимума. $y_{min} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: Точка экстремума: $x_{min} = \frac{\pi}{2}$, $y_{min} = -1$. Промежуток возрастания: $(\frac{\pi}{2}; \pi)$. Промежуток убывания: $(0; \frac{\pi}{2})$.

2.10.Укажите части промежутка (1; 3), в которых функция $y = \sin\frac{1-3x}{6}\pi$ принимает положительные и отрицательные значения. Имеет ли эта функция нули на этом промежутке?

Для определения знаков функции $y = \sin\left(\frac{1-3x}{6}\pi\right)$ на промежутке $(1; 3)$, а также для нахождения ее нулей, исследуем поведение аргумента функции $t = \frac{1-3x}{6}\pi$.

1. Найдем область значений аргумента $t$, когда $x \in (1; 3)$.

Функция $t(x)$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом ($-\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$), следовательно, она убывает на всей области определения. Найдем значения $t$ на границах интервала $(1; 3)$:

При $x = 1$, $t = \frac{1-3(1)}{6}\pi = \frac{-2}{6}\pi = -\frac{\pi}{3}$.

При $x = 3$, $t = \frac{1-3(3)}{6}\pi = \frac{1-9}{6}\pi = \frac{-8}{6}\pi = -\frac{4\pi}{3}$.

Поскольку функция $t(x)$ убывающая, то при $x \in (1; 3)$ аргумент $t$ будет принадлежать интервалу $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

2. Теперь проанализируем знак функции $y = \sin(t)$ на интервале $t \in (-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

Положительные значения

Функция $y = \sin(t)$ принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее аргумент $t$ находится в интервалах вида $(2k\pi; \pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение этих интервалов с нашим интервалом $t \in (-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

При $k = -1$ получаем интервал $(-2\pi; -\pi)$.

Пересечение $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}) \cap (-2\pi; -\pi)$ дает нам интервал $(-\frac{4\pi}{3}; -\pi)$.

Таким образом, $y > 0$ при $-\frac{4\pi}{3} < t < -\pi$.

Чтобы найти соответствующие значения $x$, решим двойное неравенство:

$-\frac{4\pi}{3} < \frac{1-3x}{6}\pi < -\pi$

Умножим все части неравенства на $\frac{6}{\pi}$:

$-8 < 1-3x < -6$

Вычтем 1 из всех частей:

$-9 < -3x < -7$

Разделим все части на -3 и сменим знаки неравенства на противоположные:

$3 > x > \frac{7}{3}$, что можно записать как $\frac{7}{3} < x < 3$.

Ответ: функция принимает положительные значения на промежутке $(\frac{7}{3}; 3)$.

Отрицательные значения

Функция $y = \sin(t)$ принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее аргумент $t$ находится в интервалах вида $(\pi + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение этих интервалов с нашим интервалом $t \in (-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

При $k = -1$ получаем интервал $(-\pi; 0)$.

Пересечение $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}) \cap (-\pi; 0)$ дает нам интервал $(-\pi; -\frac{\pi}{3})$.

Таким образом, $y < 0$ при $-\pi < t < -\frac{\pi}{3}$.

Чтобы найти соответствующие значения $x$, решим двойное неравенство:

$-\pi < \frac{1-3x}{6}\pi < -\frac{\pi}{3}$

Умножим все части неравенства на $\frac{6}{\pi}$:

$-6 < 1-3x < -2$

Вычтем 1 из всех частей:

$-7 < -3x < -3$

Разделим все части на -3 и сменим знаки неравенства на противоположные:

$\frac{7}{3} > x > 1$, что можно записать как $1 < x < \frac{7}{3}$.

Ответ: функция принимает отрицательные значения на промежутке $(1; \frac{7}{3})$.

Нули функции

Функция равна нулю, когда $y = \sin(t) = 0$. Это происходит при $t = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Мы должны найти такое целое $k$, чтобы значение $t = k\pi$ попало в наш интервал $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

$-\frac{4\pi}{3} < k\pi < -\frac{\pi}{3}$

Разделим на $\pi$:

$-\frac{4}{3} < k < -\frac{1}{3}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k = -1$.

Следовательно, на данном промежутке функция имеет нуль при $t = -\pi$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$\frac{1-3x}{6}\pi = -\pi$

$\frac{1-3x}{6} = -1$

$1-3x = -6$

$-3x = -7$

$x = \frac{7}{3}$

Проверим, принадлежит ли эта точка исходному промежутку: $1 < \frac{7}{3} < 3$ (поскольку $3/3 < 7/3 < 9/3$). Да, принадлежит.

Ответ: да, функция имеет один нуль на промежутке $(1; 3)$ в точке $x = \frac{7}{3}$.