Страница 62 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Разъясните смысл слов «сжатие» и «растяжение» графика функции.

2. Как с помощью графика функции $y = f(x)$ построить график функции $y = f(x - m) + n$?

1. Слова «сжатие» и «растяжение» графика функции описывают геометрические преобразования, которые изменяют форму графика, делая его более «узким» или «широким» вдоль одной из координатных осей. Эти преобразования делятся на вертикальные (вдоль оси $Oy$) и горизонтальные (вдоль оси $Ox$).

Вертикальное сжатие и растяжение

Эти преобразования связаны с умножением всей функции на некоторый коэффициент $a$, то есть переходом от графика $y = f(x)$ к графику $y = a \cdot f(x)$.

• Если $|a| > 1$, происходит вертикальное растяжение (или растяжение от оси $Ox$). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, a \cdot y_0)$. График становится «выше», так как ординаты всех его точек увеличиваются по модулю в $a$ раз.

  Пример: Растяжение графика $y = \sin(x)$ в 2 раза для получения $y = 2\sin(x)$.

• Если $0 < |a| < 1$, происходит вертикальное сжатие (или сжатие к оси $Ox$). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, a \cdot y_0)$. График становится «ниже», так как ординаты всех его точек уменьшаются по модулю в $1/|a|$ раз.

  Пример: Сжатие графика $y = \sin(x)$ в 2 раза для получения $y = 0.5\sin(x)$.

Горизонтальное сжатие и растяжение

Эти преобразования связаны с умножением аргумента функции на некоторый коэффициент $k$, то есть переходом от графика $y = f(x)$ к графику $y = f(kx)$. Здесь эффект обратный по сравнению с вертикальными преобразованиями.

• Если $|k| > 1$, происходит горизонтальное сжатие (или сжатие к оси $Oy$). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0/k, y_0)$. График становится «уже», так как абсциссы всех его точек уменьшаются по модулю в $k$ раз.

  Пример: Сжатие графика $y = \sin(x)$ в 2 раза для получения $y = \sin(2x)$.

• Если $0 < |k| < 1$, происходит горизонтальное растяжение (или растяжение от оси $Oy$). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0/k, y_0)$. График становится «шире», так как абсциссы всех его точек увеличиваются по модулю в $1/|k|$ раз.

  Пример: Растяжение графика $y = \sin(x)$ в 2 раза для получения $y = \sin(x/2)$.

Примечание: если коэффициенты $a$ или $k$ отрицательны, то помимо сжатия/растяжения происходит симметричное отражение графика относительно оси $Ox$ (для $a<0$) или $Oy$ (для $k<0$).

Ответ: «Сжатие» и «растяжение» — это преобразования графика функции. Растяжение делает график «шире» (горизонтальное) или «выше» (вертикальное), а сжатие — «уже» (горизонтальное) или «ниже» (вертикальное). Вертикальные преобразования $y=a \cdot f(x)$ изменяют ординаты точек, а горизонтальные $y=f(kx)$ — абсциссы.

2. Чтобы построить график функции $y = f(x - m) + n$ с помощью графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика. Это преобразование можно разбить на два последовательных шага: сдвиг по горизонтали и сдвиг по вертикали.

Шаг 1: Горизонтальный сдвиг

Преобразование $y = f(x-m)$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ вдоль оси $Ox$.

• Если $m > 0$, график сдвигается вправо на $m$ единиц.

• Если $m < 0$, то выражение можно записать как $y = f(x + |m|)$. В этом случае график сдвигается влево на $|m|$ единиц.

Интуитивно это можно понять так: чтобы получить то же значение функции $f$, аргумент должен остаться прежним. Если мы вычитаем $m$ из $x$, то чтобы аргумент $(x-m)$ был равен старому аргументу $x_{old}$, новое значение $x$ должно быть $x = x_{old} + m$.

Шаг 2: Вертикальный сдвиг

Преобразование $y = g(x) + n$ (где $g(x)$ — уже сдвинутая по горизонтали функция) соответствует сдвигу графика вдоль оси $Oy$.

• Если $n > 0$, график сдвигается вверх на $n$ единиц.

• Если $n < 0$, график сдвигается вниз на $|n|$ единиц.

Это преобразование более очевидно: к каждому значению функции $g(x)$ мы просто прибавляем число $n$, тем самым изменяя ординату каждой точки.

Общий случай

Таким образом, для построения графика $y = f(x - m) + n$ из графика $y = f(x)$ нужно выполнить параллельный перенос всех точек исходного графика на вектор $\vec{v}(m, n)$. То есть, каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ перейдет в точку $(x_0 + m, y_0 + n)$ на новом графике.

Пример: Построение графика $y = (x-3)^2 + 2$ из графика $y=x^2$. Здесь $m=3, n=2$. Нужно сдвинуть параболу $y=x^2$ на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x-m)+n$ из графика $y = f(x)$, нужно выполнить параллельный перенос исходного графика: сдвинуть его на $m$ единиц по горизонтали (вправо при $m>0$, влево при $m<0$) и на $n$ единиц по вертикали (вверх при $n>0$, вниз при $n<0$).

В упражнениях 2.21–2.26 постройте графики функций.

2. 21.

1) $y = 3 \cos x;$

2) $y = \cos 3x;$

3) $y = \frac{1}{2} \sin x;$

4) $y = \sin \frac{x}{2};$

5) $y = 2 \operatorname{tg} x;$

6) $y = \operatorname{tg} 2x;$

7) $y = \frac{1}{3} \operatorname{ctg} x;$

8) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3};$

9) $y = \frac{1}{2} \cos 2x.$

1) $y = 3 \cos x$

Для построения графика функции $y = 3 \cos x$ возьмем за основу график функции $y = \cos x$. Данное преобразование является растяжением исходного графика вдоль оси OY в 3 раза. Это означает, что каждая ордината (значение y) графика $y = \cos x$ умножается на 3.Амплитуда колебаний увеличится в 3 раза и станет равной 3. Период функции не изменится и останется равным $T = 2\pi$. Область значений функции будет $[-3; 3]$.Ключевые точки: • При $x=0$, $y=3\cos(0)=3$. • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=3\cos(\frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\pi$, $y=3\cos(\pi)=-3$. • При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y=3\cos(\frac{3\pi}{2})=0$. • При $x=2\pi$, $y=3\cos(2\pi)=3$.

Ответ: График функции $y = 3\cos x$ представляет собой косинусоиду с амплитудой 3 и периодом $2\pi$.

2) $y = \cos 3x$

Для построения графика функции $y = \cos 3x$ возьмем за основу график $y = \cos x$. Данное преобразование является сжатием исходного графика вдоль оси OX к оси OY в 3 раза. Это означает, что период функции уменьшится в 3 раза.Новый период $T' = \frac{T}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Амплитуда функции не изменится и останется равной 1. Область значений функции будет $[-1; 1]$.Ключевые точки одного периода: • При $x=0$, $y=\cos(0)=1$. • При $x=\frac{\pi}{6}$, $y=\cos(3 \cdot \frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\frac{\pi}{3}$, $y=\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3})=\cos(\pi)=-1$. • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=\cos(3 \cdot \frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\frac{2\pi}{3}$, $y=\cos(3 \cdot \frac{2\pi}{3})=\cos(2\pi)=1$.

Ответ: График функции $y = \cos 3x$ представляет собой косинусоиду с амплитудой 1 и периодом $\frac{2\pi}{3}$.

3) $y = -\frac{1}{2}\sin x$

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\sin x$ возьмем за основу график $y = \sin x$. Преобразование состоит из двух частей: сжатие вдоль оси OY в 2 раза (коэффициент $\frac{1}{2}$) и зеркальное отражение относительно оси OX (знак "минус").Амплитуда функции станет равной $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Период не изменится и останется $T = 2\pi$. Область значений функции: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.Ключевые точки: • При $x=0$, $y=0$. • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2}$. • При $x=\pi$, $y=0$. • При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y = -\frac{1}{2}\sin(\frac{3\pi}{2})=\frac{1}{2}$. • При $x=2\pi$, $y=0$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\sin x$ - это синусоида, сжатая по вертикали, отраженная относительно оси OX, с амплитудой $\frac{1}{2}$ и периодом $2\pi$.

4) $y = \sin \frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = \sin \frac{x}{2}$ возьмем за основу график $y = \sin x$. Преобразование является растяжением исходного графика вдоль оси OX от оси OY в 2 раза. Это означает, что период функции увеличится в 2 раза.Новый период $T' = \frac{T}{1/2} = 2T = 4\pi$. Амплитуда функции не изменится и останется равной 1. Область значений функции: $[-1; 1]$.Ключевые точки одного периода: • При $x=0$, $y=0$. • При $x=\pi$, $y=\sin(\frac{\pi}{2})=1$. • При $x=2\pi$, $y=\sin(\pi)=0$. • При $x=3\pi$, $y=\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$. • При $x=4\pi$, $y=\sin(2\pi)=0$.

Ответ: График функции $y = \sin \frac{x}{2}$ - это синусоида с амплитудой 1 и периодом $4\pi$.

5) $y = 2\operatorname{tg} x$

Для построения графика функции $y = 2\operatorname{tg} x$ возьмем за основу график $y = \operatorname{tg} x$. Преобразование является растяжением исходного графика вдоль оси OY в 2 раза. Каждая ордината графика $y=\operatorname{tg} x$ умножается на 2.Период функции не меняется и равен $T=\pi$. Вертикальные асимптоты остаются прежними: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.Ключевые точки одной ветви: • При $x=0$, $y=0$. • При $x=\frac{\pi}{4}$, $y=2\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})=2$. • При $x=-\frac{\pi}{4}$, $y=2\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})=-2$.

Ответ: График функции $y = 2\operatorname{tg} x$ - это тангенсоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY, с периодом $\pi$ и асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

6) $y = \operatorname{tg} 2x$

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} 2x$ возьмем за основу график $y = \operatorname{tg} x$. Преобразование является сжатием исходного графика вдоль оси OX к оси OY в 2 раза.Период функции уменьшится в 2 раза: $T' = \frac{T}{2} = \frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты также сдвинутся: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.Ключевые точки одной ветви: • При $x=0$, $y=0$. • При $x=\frac{\pi}{8}$, $y=\operatorname{tg}(2 \cdot \frac{\pi}{8})=\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})=1$. • При $x=-\frac{\pi}{8}$, $y=\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})=-1$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} 2x$ - это тангенсоида, сжатая в 2 раза вдоль оси OX, с периодом $\frac{\pi}{2}$ и асимптотами $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

7) $y = \frac{1}{3}\operatorname{ctg} x$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}\operatorname{ctg} x$ возьмем за основу график $y = \operatorname{ctg} x$. Преобразование является сжатием исходного графика вдоль оси OY в 3 раза.Период функции не меняется и равен $T=\pi$. Вертикальные асимптоты остаются прежними: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.Ключевые точки одной ветви: • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=0$. • При $x=\frac{\pi}{4}$, $y=\frac{1}{3}\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{3}$. • При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=\frac{1}{3}\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{3}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}\operatorname{ctg} x$ - это котангенсоида, сжатая в 3 раза вдоль оси OY, с периодом $\pi$ и асимптотами $x = k\pi$.

8) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$

Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$ возьмем за основу график $y = \operatorname{ctg} x$. Преобразование является растяжением исходного графика вдоль оси OX от оси OY в 3 раза.Период функции увеличится в 3 раза: $T' = \frac{T}{1/3} = 3T = 3\pi$. Вертикальные асимптоты сместятся: $\frac{x}{3} = k\pi \implies x = 3k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.Ключевые точки одной ветви: • При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y=\operatorname{ctg}(\frac{3\pi/2}{3})=\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=\operatorname{ctg}(\frac{3\pi/4}{3})=\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})=1$. • При $x=\frac{9\pi}{4}$, $y=\operatorname{ctg}(\frac{9\pi/4}{3})=\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})=-1$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$ - это котангенсоида, растянутая в 3 раза вдоль оси OX, с периодом $3\pi$ и асимптотами $x = 3k\pi$.

9) $y = \frac{1}{2}\cos 2x$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}\cos 2x$ возьмем за основу график $y = \cos x$. Применяются два преобразования: сжатие вдоль оси OY в 2 раза (амплитуда станет $\frac{1}{2}$) и сжатие вдоль оси OX в 2 раза (период станет $\frac{2\pi}{2}=\pi$).Период функции: $T = \pi$. Амплитуда: $A = \frac{1}{2}$. Область значений: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.Ключевые точки одного периода: • При $x=0$, $y=\frac{1}{2}\cos(0)=\frac{1}{2}$. • При $x=\frac{\pi}{4}$, $y=\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=\frac{1}{2}\cos(\pi)=-\frac{1}{2}$. • При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=\frac{1}{2}\cos(\frac{3\pi}{2})=0$. • При $x=\pi$, $y=\frac{1}{2}\cos(2\pi)=\frac{1}{2}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\cos 2x$ - это косинусоида, сжатая в 2 раза по обеим осям, с амплитудой $\frac{1}{2}$ и периодом $\pi$.

2.22. 1) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 4$;

3) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$;

4) $y = 3 - \text{ctg} \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

1) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \sin(x)$ с помощью преобразования сдвига (параллельного переноса).

Общий вид функции со сдвигом по горизонтали: $y = f(x - c)$. Если $c > 0$, график сдвигается вправо, если $c < 0$ — влево.

В нашем случае $f(x) = \sin(x)$ и $c = \frac{\pi}{3}$. Так как $c > 0$, то происходит сдвиг графика функции $y = \sin(x)$ вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо.

2) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 4$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \cos(x)$ с помощью двух преобразований: сдвига по горизонтали и сдвига по вертикали.

1. Сдвиг по горизонтали: Аргумент функции $x + \frac{\pi}{4}$ можно представить в виде $x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Здесь $c = -\frac{\pi}{4}$. Так как $c < 0$, происходит сдвиг графика $y = \cos(x)$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц. Получаем промежуточную функцию $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

2. Сдвиг по вертикали: Преобразование вида $y = f(x) + d$ соответствует сдвигу графика вдоль оси ординат (оси Oy). В нашем случае $d=4$. Так как $d > 0$, происходит сдвиг графика вверх на 4 единицы.

Следовательно, для построения искомого графика нужно сдвинуть график $y = \cos(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ влево, а затем на 4 единицы вверх.

Ответ: График функции $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 4$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево и параллельного переноса вдоль оси Oy на 4 единицы вверх.

3) $y = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{tg}(x)$ с помощью двух преобразований: сдвига по горизонтали и сдвига по вертикали.

1. Сдвиг по горизонтали: Аргумент функции $x - \frac{\pi}{4}$. Здесь $c = \frac{\pi}{4}$. Так как $c > 0$, происходит сдвиг графика $y = \operatorname{tg}(x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц. Получаем промежуточную функцию $y = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

2. Сдвиг по вертикали: Из функции вычитается 1, т.е. $d = -1$. Так как $d < 0$, происходит сдвиг графика вниз вдоль оси Oy на 1 единицу.

Следовательно, для построения искомого графика нужно сдвинуть график $y = \operatorname{tg}(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо, а затем на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg}(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо и параллельного переноса вдоль оси Oy на 1 единицу вниз.

4) $y = 3 - \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Запишем функцию в виде $y = -\operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 3$. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{ctg}(x)$ с помощью трех преобразований: отражения, сдвига по горизонтали и сдвига по вертикали.

1. Отражение: Знак "минус" перед функцией, т.е. преобразование $y = -f(x)$, соответствует симметричному отражению графика $y = \operatorname{ctg}(x)$ относительно оси Ox. Получаем график функции $y = -\operatorname{ctg}(x)$.

2. Сдвиг по горизонтали: Аргумент функции $x + \frac{\pi}{6}$ соответствует сдвигу графика $y = -\operatorname{ctg}(x)$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ единиц (так как $c = -\frac{\pi}{6} < 0$). Получаем промежуточную функцию $y = -\operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

3. Сдвиг по вертикали: Прибавление 3, т.е. $d=3$, соответствует сдвигу графика вверх вдоль оси Oy на 3 единицы.

Таким образом, для построения искомого графика нужно график $y = \operatorname{ctg}(x)$ отразить относительно оси Ox, затем сдвинуть на $\frac{\pi}{6}$ влево и на 3 единицы вверх.

Ответ: График функции $y = 3 - \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg}(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси Ox, последующего параллельного переноса вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево и параллельного переноса вдоль оси Oy на 3 единицы вверх.

2.23. 1) $y = |\sin 2x|;$

2) $y = \cos \left|\frac{x}{2}\right|;$

3) $y = \left|\operatorname{tg} \frac{x}{2} - 1\right|;$

4) $y = \operatorname{ctg} |3x + 2|.$

1) $y = |\sin 2x|$

Для нахождения основного периода функции $y = |\sin 2x|$ проанализируем последовательные преобразования.

1. Основной период функции $f(u) = \sin u$ равен $T_0 = 2\pi$.

2. Рассмотрим функцию $g(x) = \sin(2x)$. Она получена из $\sin u$ путем замены $u$ на $2x$. Это соответствует сжатию графика по оси абсцисс в 2 раза. Период этой функции $T_1$ вычисляется по формуле $T_1 = \frac{T_0}{|k|}$, где $k=2$.
$T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Теперь рассмотрим функцию $y = |\sin 2x|$. Применение модуля к функции $g(x) = \sin(2x)$ приводит к тому, что все отрицательные значения функции становятся положительными (часть графика, расположенная ниже оси Ох, симметрично отражается вверх). Для функций синуса и косинуса такое преобразование уменьшает период в два раза.

Визуализация преобразования:

4. Следовательно, основной период функции $y = |\sin 2x|$ равен:
$T = \frac{T_1}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Основной период функции равен $\frac{\pi}{2}$.

2) $y = \cos\frac{|x|}{2}$

1. Рассмотрим функцию $y = \cos\frac{|x|}{2}$. Ключевым свойством для ее анализа является четность функции косинус.

2. Функция $f(u) = \cos u$ является четной, что означает $\cos(-u) = \cos(u)$ для любого значения $u$.

3. Проанализируем выражение $y = \cos\frac{|x|}{2}$ для разных значений $x$:
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \cos\frac{x}{2}$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \cos\frac{-x}{2}$.

4. Используя свойство четности косинуса, преобразуем выражение для $x < 0$:
$\cos\frac{-x}{2} = \cos\frac{x}{2}$.

5. Таким образом, мы видим, что для любого действительного $x$ значение функции $y = \cos\frac{|x|}{2}$ совпадает со значением функции $y = \cos\frac{x}{2}$. Эти две функции тождественны.

6. Теперь найдем основной период функции $y = \cos\frac{x}{2}$. Основной период функции $\cos u$ равен $2\pi$. Период для функции вида $\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

7. В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, период равен:
$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$.

Ответ: Основной период функции равен $4\pi$.

3) $y = \left|\text{tg}\frac{x}{2} - 1\right|$

1. Сначала определим период функции $g(x) = \text{tg}\frac{x}{2} - 1$.

2. Основной период функции $f(u) = \text{tg} u$ равен $\pi$.

3. В функции $\text{tg}\frac{x}{2}$ аргумент умножается на коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Период этой функции $T_1 = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

4. Вертикальный сдвиг на -1 (вычитание константы) не влияет на периодичность функции. Следовательно, период функции $g(x) = \text{tg}\frac{x}{2} - 1$ также равен $T_g = 2\pi$.

5. Теперь рассмотрим влияние модуля: $y(x) = |g(x)| = \left|\text{tg}\frac{x}{2} - 1\right|$. Период функции $|f(x)|$ равен периоду $f(x)$ или его половине. Период сокращается вдвое только в том случае, если для функции $f(x)$ с периодом $T$ выполняется условие $f(x + T/2) = -f(x)$.

6. Проверим это условие для нашей функции $g(x)$ с периодом $T = 2\pi$. Половина периода $T/2 = \pi$. Нам нужно проверить, выполняется ли тождество $g(x+\pi) = -g(x)$.

$g(x+\pi) = \text{tg}\left(\frac{x+\pi}{2}\right) - 1 = \text{tg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right) - 1$.

Используя формулу приведения $\text{tg}(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}\alpha$, получаем:

$g(x+\pi) = -\text{ctg}\frac{x}{2} - 1$.

С другой стороны, $-g(x) = -\left(\text{tg}\frac{x}{2} - 1\right) = 1 - \text{tg}\frac{x}{2}$.

7. Сравним выражения: $-\text{ctg}\frac{x}{2} - 1$ и $1 - \text{tg}\frac{x}{2}$. Очевидно, что эти выражения не равны для всех $x$. Например, при $x = \pi/2$:
$g(\pi/2 + \pi) = -\text{ctg}(\pi/4) - 1 = -1 - 1 = -2$.
$-g(\pi/2) = -(\text{tg}(\pi/4) - 1) = -(1-1) = 0$.
Так как $-2 \neq 0$, условие не выполняется.

8. Это означает, что применение модуля не уменьшает период функции вдвое.

Ответ: Основной период функции равен $2\pi$.

4) $y = \text{ctg}|3x + 2|$

1. Рассмотрим функцию $y = \text{ctg}|3x + 2|$. Для анализа важно свойство нечетности функции котангенс.

2. Функция $f(u) = \text{ctg} u$ является нечетной, то есть $\text{ctg}(-u) = -\text{ctg}(u)$.

3. Наличие модуля в аргументе нечетной функции, как правило, приводит к тому, что итоговая функция не является периодической на всей своей области определения.

4. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
- Если $3x+2 > 0$ (т.е. $x > -2/3$), то $|3x+2| = 3x+2$, и функция имеет вид $y = \text{ctg}(3x+2)$. На этом интервале функция периодична с периодом $T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.
- Если $3x+2 < 0$ (т.е. $x < -2/3$), то $|3x+2| = -(3x+2)$, и функция имеет вид $y = \text{ctg}(-(3x+2))$. Из-за нечетности котангенса, $y = -\text{ctg}(3x+2)$. На этом интервале функция также имеет периодическое поведение с периодом $\frac{\pi}{3}$, но ее график является отражением графика $\text{ctg}(3x+2)$ относительно оси Ox.

5. Точка $x = -2/3$ является точкой "излома", нарушающей общую периодичность. График функции не имеет единого повторяющегося фрагмента по всей оси $x$.

6. Чтобы формально доказать отсутствие периодичности, предположим, что период $T$ существует. Тогда должно выполняться равенство $y(x+T) = y(x)$ для всех $x$ из области определения. Наиболее вероятным кандидатом на период был бы $T = \pi/3$.

7. Проверим это равенство для точки, "пересекающей" границу $x=-2/3$. Возьмем $x=-1$ (что меньше $-2/3$).
$y(-1) = \text{ctg}|3(-1)+2| = \text{ctg}|-1| = \text{ctg}(1)$.

8. Теперь вычислим значение в точке $x+T = -1 + \pi/3$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\pi/3 \approx 1.047$, и $-1+\pi/3 \approx 0.047$, что больше $-2/3$.
$y(-1+\pi/3) = \text{ctg}|3(-1+\pi/3)+2| = \text{ctg}|-3+\pi+2| = \text{ctg}|\pi-1|$.

9. Так как $3 < \pi < 4$, то $\pi-1 > 0$, поэтому $|\pi-1| = \pi-1$. Следовательно, $y(-1+\pi/3) = \text{ctg}(\pi-1)$.

10. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi-u) = -\text{ctg} u$, получаем: $\text{ctg}(\pi-1) = -\text{ctg}(1)$.

11. Мы получили, что $y(-1) = \text{ctg}(1)$, а $y(-1+\pi/3) = -\text{ctg}(1)$. Поскольку $\text{ctg}(1) \neq 0$, то $y(-1) \neq y(-1+\pi/3)$.

12. Равенство $y(x+T) = y(x)$ не выполняется. Следовательно, функция не является периодической.

Ответ: Функция не является периодической.

2.24. 1) $y = 4 \left(\cos^4 \frac{x}{2} + \sin^4 \frac{x}{2}\right)$;

2) $y = \sin x + |\sin x|$;

3) $y = \text{tg}^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}$;

4) $y = \sin x + \cos x$.

1) Дана функция $y = 4(\cos^4 \frac{x}{2} + \sin^4 \frac{x}{2})$.
Для упрощения выражения в скобках воспользуемся тождеством $a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2$.
Пусть $a = \cos \frac{x}{2}$ и $b = \sin \frac{x}{2}$. Тогда:
$\cos^4 \frac{x}{2} + \sin^4 \frac{x}{2} = (\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})^2 - 2\cos^2 \frac{x}{2}\sin^2 \frac{x}{2}$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Выражение $(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})^2$ равно $1^2 = 1$.
Преобразуем вторую часть: $2\cos^2 \frac{x}{2}\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{2}(4\cos^2 \frac{x}{2}\sin^2 \frac{x}{2}) = \frac{1}{2}(2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2})^2 = \frac{1}{2}\sin^2 x$.
Таким образом, выражение в скобках равно $1 - \frac{1}{2}\sin^2 x$.
Теперь подставим это в исходную функцию:
$y = 4(1 - \frac{1}{2}\sin^2 x) = 4 - 2\sin^2 x$.
Используя формулу понижения степени (или косинуса двойного угла) $2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$, получаем:
$y = 4 - (1 - \cos(2x)) = 4 - 1 + \cos(2x) = 3 + \cos(2x)$.
Ответ: $y = 3 + \cos(2x)$.

2) Дана функция $y = \sin x + |\sin x|$.
Рассмотрим два случая, раскрывая модуль.
Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это условие выполняется, когда $x$ принадлежит промежуткам $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$ для любого целого $n$.
В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид:
$y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.
Случай 2: $\sin x < 0$. Это условие выполняется, когда $x$ принадлежит промежуткам $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ для любого целого $n$.
В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид:
$y = \sin x + (-\sin x) = 0$.
Таким образом, функцию можно записать в виде кусочно-заданной:
$y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{при } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{при } \sin x < 0 \end{cases}$.
Ответ: $y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } x \in [2\pi n, \pi+2\pi n], n \in \mathbb{Z} \\ 0, & \text{если } x \in (\pi+2\pi n, 2\pi+2\pi n), n \in \mathbb{Z} \end{cases}$.

3) Дана функция $y = \operatorname{tg}^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n$.
Подставим тождество в исходное выражение:
$y = \operatorname{tg}^2 x - (1 + \operatorname{tg}^2 x)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y = \operatorname{tg}^2 x - 1 - \operatorname{tg}^2 x = -1$.
Функция тождественно равна -1 на всей своей области определения.
Ответ: $y = -1$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $y = \sin x + \cos x$.
Для преобразования этого выражения воспользуемся методом вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin x + b\cos x$ можно представить как $R\sin(x+\alpha)$, где $R=\sqrt{a^2+b^2}$.
В данном случае коэффициенты $a=1$ и $b=1$.
Найдем $R$:
$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Вынесем множитель $\sqrt{2}$ за скобки:
$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$.
Заметим, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставим эти значения в выражение:
$y = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right)$.
Выражение в скобках является формулой синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
Следовательно, функцию можно записать в виде:
$y = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $y = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.

2.25 1) $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x;$

2) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x};$

3) $y = \operatorname{ctg} x |\sin x|;$

4) $y = \operatorname{tg} x \cdot \cos x.$

1) $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$

Для нахождения вида функции, сперва определим ее область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg} x$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Функция $\operatorname{ctg} x$ определена, когда $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что исходная функция определена при $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь преобразуем выражение, используя определения тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

$y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

В области определения функции ($\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$) мы можем сократить дроби, получая $y = 1$.

Таким образом, график функции представляет собой прямую $y=1$ с выколотыми точками в тех местах, где функция не определена, то есть при $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = 1$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, следовательно, $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Далее рассмотрим два случая, исходя из определения модуля:

1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. В этом случае функция принимает вид:$y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$.Условие $\cos x > 0$ выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. В этом случае функция принимает вид:$y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$.Условие $\cos x < 0$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, принимающую значения 1 и -1.

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } \cos x > 0 \\ -1, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$, при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \operatorname{ctg} x |\sin x|$

Область определения функции задается условием существования $\operatorname{ctg} x$, то есть $\sin x \neq 0$. Отсюда $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Подставим определение котангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ в исходное уравнение:

$y = \frac{\cos x}{\sin x} |\sin x|$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$:

1. Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Тогда:$y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x$.Условие $\sin x > 0$ выполняется для $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Тогда:$y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (-\sin x) = -\cos x$.Условие $\sin x < 0$ выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция является кусочной. Ее график состоит из частей графиков $y = \cos x$ и $y = -\cos x$.

Ответ: $y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } \sin x > 0 \\ -\cos x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$, при $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \operatorname{tg} x \cdot \cos x$

Область определения функции (ОДЗ) определяется областью определения $\operatorname{tg} x$. Тангенс определен, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем выражение, используя определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x$

Поскольку в области определения $\cos x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\cos x$. В результате получаем:

$y = \sin x$

Следовательно, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sin x$, за исключением выколотых точек, в которых $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = \sin x$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2.26. 1) $y = |\sin x| + \sin|x|;$

2) $y = x - \sin x;$

3) $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x;$

4) $|y| = \sin x.$

1) Для функции $y = |\sin x| + \sin|x|$ проверим выполнение свойств четности и нечетности.
Обозначим $f(x) = |\sin x| + \sin|x|$. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = |\sin(-x)| + \sin|-x|$.
Используя свойства тригонометрических функций и модуля, а именно $\sin(-x) = -\sin x$ и $|-a| = |a|$, получаем:
$f(-x) = |-\sin x| + \sin|x| = |\sin x| + \sin|x|$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Это означает, что функция является четной.
Ответ: функция четная.

2) Для функции $y = x - \sin x$ проверим выполнение свойств четности и нечетности.
Обозначим $f(x) = x - \sin x$. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x) - \sin(-x)$.
Поскольку синус является нечетной функцией ($\sin(-x) = -\sin x$), имеем:
$f(-x) = -x - (-\sin x) = -x + \sin x = -(x - \sin x)$.
Таким образом, $f(-x) = -f(x)$. Это означает, что функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

3) Для функции $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$ проверим выполнение свойств четности и нечетности.
Обозначим $f(x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$. Область определения функции задается условиями $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.
Тангенс и котангенс являются нечетными функциями ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), поэтому:
$f(-x) = -\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x = -(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x)$.
Таким образом, $f(-x) = -f(x)$. Это означает, что функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

4) Рассмотрим соотношение $|y| = \sin x$.
Это выражение задает зависимость между $x$ и $y$, но не является функцией вида $y = f(x)$ в общепринятом смысле, так как одному значению $x$ (при $\sin x > 0$) могут соответствовать два значения $y$ (а именно $y = \sin x$ и $y = -\sin x$).
Найдем область определения данной зависимости. Так как левая часть $|y|$ всегда неотрицательна ($|y| \ge 0$), то и правая часть должна быть неотрицательной: $\sin x \ge 0$.
Это неравенство выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Полученная область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит области определения, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \ge 0$. Однако симметричная ей точка $x = -\frac{\pi}{2}$ не принадлежит области определения, поскольку $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 < 0$.
Для того чтобы функция (или зависимость) была четной или нечетной, ее область определения должна быть симметричной относительно нуля. Так как это условие не выполняется, данная зависимость не является ни четной, ни нечетной. Такие функции называют функциями общего вида.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

2.27. Упростите выражение $\left( \frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1} + y^{-1}} - \frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}} \right) \cdot \left( \frac{4xy}{y^2 - x^2} \right)^{-1}$.

Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам. Исходное выражение:

$ \left( \frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1} + y^{-1}} - \frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}} \right) \cdot \left( \frac{4xy}{y^2 - x^2} \right)^{-1} $

1. Сначала преобразуем выражения с отрицательными степенями, используя свойство $ a^{-1} = \frac{1}{a} $.

$ x^{-1} = \frac{1}{x} $ и $ y^{-1} = \frac{1}{y} $.

2. Подставим эти значения в первую скобку и упростим получившиеся многоэтажные дроби:

$ \frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1} + y^{-1}} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y-x}{xy}}{\frac{y+x}{xy}} = \frac{y-x}{y+x} $

$ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}} = \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y+x}{xy}}{\frac{y-x}{xy}} = \frac{y+x}{y-x} $

3. Теперь выполним вычитание дробей в первой скобке. Приведем их к общему знаменателю $ (y+x)(y-x) = y^2 - x^2 $:

$ \frac{y-x}{y+x} - \frac{y+x}{y-x} = \frac{(y-x)^2 - (y+x)^2}{(y+x)(y-x)} $

Раскроем числитель по формуле разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $. В нашем случае $ a = y-x $ и $ b = y+x $:

$ (y-x)^2 - (y+x)^2 = ((y-x) - (y+x)) \cdot ((y-x) + (y+x)) = (y-x-y-x) \cdot (y-x+y+x) = (-2x) \cdot (2y) = -4xy $

Таким образом, выражение в первой скобке равно:

$ \frac{-4xy}{y^2 - x^2} $

4. Далее упростим вторую часть выражения. Степень $ -1 $ означает, что нужно взять обратную дробь:

$ \left( \frac{4xy}{y^2 - x^2} \right)^{-1} = \frac{y^2 - x^2}{4xy} $

5. Наконец, перемножим полученные упрощенные выражения:

$ \left( \frac{-4xy}{y^2 - x^2} \right) \cdot \left( \frac{y^2 - x^2}{4xy} \right) $

Сокращаем одинаковые множители $ (y^2 - x^2) $ и $ 4xy $. В результате остается $ -1 $.

Ответ: $ -1 $.