Номер 2.24, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.24. 1) $y = 4 \left(\cos^4 \frac{x}{2} + \sin^4 \frac{x}{2}\right)$;

2) $y = \sin x + |\sin x|$;

3) $y = \text{tg}^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}$;

4) $y = \sin x + \cos x$.

1) Дана функция $y = 4(\cos^4 \frac{x}{2} + \sin^4 \frac{x}{2})$.
Для упрощения выражения в скобках воспользуемся тождеством $a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2$.
Пусть $a = \cos \frac{x}{2}$ и $b = \sin \frac{x}{2}$. Тогда:
$\cos^4 \frac{x}{2} + \sin^4 \frac{x}{2} = (\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})^2 - 2\cos^2 \frac{x}{2}\sin^2 \frac{x}{2}$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Выражение $(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})^2$ равно $1^2 = 1$.
Преобразуем вторую часть: $2\cos^2 \frac{x}{2}\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{2}(4\cos^2 \frac{x}{2}\sin^2 \frac{x}{2}) = \frac{1}{2}(2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2})^2 = \frac{1}{2}\sin^2 x$.
Таким образом, выражение в скобках равно $1 - \frac{1}{2}\sin^2 x$.
Теперь подставим это в исходную функцию:
$y = 4(1 - \frac{1}{2}\sin^2 x) = 4 - 2\sin^2 x$.
Используя формулу понижения степени (или косинуса двойного угла) $2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$, получаем:
$y = 4 - (1 - \cos(2x)) = 4 - 1 + \cos(2x) = 3 + \cos(2x)$.
Ответ: $y = 3 + \cos(2x)$.

2) Дана функция $y = \sin x + |\sin x|$.
Рассмотрим два случая, раскрывая модуль.
Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это условие выполняется, когда $x$ принадлежит промежуткам $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$ для любого целого $n$.
В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид:
$y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.
Случай 2: $\sin x < 0$. Это условие выполняется, когда $x$ принадлежит промежуткам $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ для любого целого $n$.
В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид:
$y = \sin x + (-\sin x) = 0$.
Таким образом, функцию можно записать в виде кусочно-заданной:
$y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{при } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{при } \sin x < 0 \end{cases}$.
Ответ: $y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } x \in [2\pi n, \pi+2\pi n], n \in \mathbb{Z} \\ 0, & \text{если } x \in (\pi+2\pi n, 2\pi+2\pi n), n \in \mathbb{Z} \end{cases}$.

3) Дана функция $y = \operatorname{tg}^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n$.
Подставим тождество в исходное выражение:
$y = \operatorname{tg}^2 x - (1 + \operatorname{tg}^2 x)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y = \operatorname{tg}^2 x - 1 - \operatorname{tg}^2 x = -1$.
Функция тождественно равна -1 на всей своей области определения.
Ответ: $y = -1$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $y = \sin x + \cos x$.
Для преобразования этого выражения воспользуемся методом вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin x + b\cos x$ можно представить как $R\sin(x+\alpha)$, где $R=\sqrt{a^2+b^2}$.
В данном случае коэффициенты $a=1$ и $b=1$.
Найдем $R$:
$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Вынесем множитель $\sqrt{2}$ за скобки:
$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$.
Заметим, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставим эти значения в выражение:
$y = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right)$.
Выражение в скобках является формулой синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
Следовательно, функцию можно записать в виде:
$y = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $y = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.