Номер 2.25, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.25 1) $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x;$

2) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x};$

3) $y = \operatorname{ctg} x |\sin x|;$

4) $y = \operatorname{tg} x \cdot \cos x.$

1) $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$

Для нахождения вида функции, сперва определим ее область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg} x$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Функция $\operatorname{ctg} x$ определена, когда $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что исходная функция определена при $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь преобразуем выражение, используя определения тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

$y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

В области определения функции ($\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$) мы можем сократить дроби, получая $y = 1$.

Таким образом, график функции представляет собой прямую $y=1$ с выколотыми точками в тех местах, где функция не определена, то есть при $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = 1$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, следовательно, $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Далее рассмотрим два случая, исходя из определения модуля:

1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. В этом случае функция принимает вид:$y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$.Условие $\cos x > 0$ выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. В этом случае функция принимает вид:$y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$.Условие $\cos x < 0$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, принимающую значения 1 и -1.

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } \cos x > 0 \\ -1, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$, при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \operatorname{ctg} x |\sin x|$

Область определения функции задается условием существования $\operatorname{ctg} x$, то есть $\sin x \neq 0$. Отсюда $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Подставим определение котангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ в исходное уравнение:

$y = \frac{\cos x}{\sin x} |\sin x|$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$:

1. Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Тогда:$y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x$.Условие $\sin x > 0$ выполняется для $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Тогда:$y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (-\sin x) = -\cos x$.Условие $\sin x < 0$ выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция является кусочной. Ее график состоит из частей графиков $y = \cos x$ и $y = -\cos x$.

Ответ: $y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } \sin x > 0 \\ -\cos x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$, при $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \operatorname{tg} x \cdot \cos x$

Область определения функции (ОДЗ) определяется областью определения $\operatorname{tg} x$. Тангенс определен, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем выражение, используя определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x$

Поскольку в области определения $\cos x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\cos x$. В результате получаем:

$y = \sin x$

Следовательно, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sin x$, за исключением выколотых точек, в которых $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = \sin x$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.