Номер 2.21, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 2.21–2.26 постройте графики функций.

2. 21.

1) $y = 3 \cos x;$

2) $y = \cos 3x;$

3) $y = \frac{1}{2} \sin x;$

4) $y = \sin \frac{x}{2};$

5) $y = 2 \operatorname{tg} x;$

6) $y = \operatorname{tg} 2x;$

7) $y = \frac{1}{3} \operatorname{ctg} x;$

8) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3};$

9) $y = \frac{1}{2} \cos 2x.$

1) $y = 3 \cos x$

Для построения графика функции $y = 3 \cos x$ возьмем за основу график функции $y = \cos x$. Данное преобразование является растяжением исходного графика вдоль оси OY в 3 раза. Это означает, что каждая ордината (значение y) графика $y = \cos x$ умножается на 3.Амплитуда колебаний увеличится в 3 раза и станет равной 3. Период функции не изменится и останется равным $T = 2\pi$. Область значений функции будет $[-3; 3]$.Ключевые точки: • При $x=0$, $y=3\cos(0)=3$. • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=3\cos(\frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\pi$, $y=3\cos(\pi)=-3$. • При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y=3\cos(\frac{3\pi}{2})=0$. • При $x=2\pi$, $y=3\cos(2\pi)=3$.

Ответ: График функции $y = 3\cos x$ представляет собой косинусоиду с амплитудой 3 и периодом $2\pi$.

2) $y = \cos 3x$

Для построения графика функции $y = \cos 3x$ возьмем за основу график $y = \cos x$. Данное преобразование является сжатием исходного графика вдоль оси OX к оси OY в 3 раза. Это означает, что период функции уменьшится в 3 раза.Новый период $T' = \frac{T}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Амплитуда функции не изменится и останется равной 1. Область значений функции будет $[-1; 1]$.Ключевые точки одного периода: • При $x=0$, $y=\cos(0)=1$. • При $x=\frac{\pi}{6}$, $y=\cos(3 \cdot \frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\frac{\pi}{3}$, $y=\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3})=\cos(\pi)=-1$. • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=\cos(3 \cdot \frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\frac{2\pi}{3}$, $y=\cos(3 \cdot \frac{2\pi}{3})=\cos(2\pi)=1$.

Ответ: График функции $y = \cos 3x$ представляет собой косинусоиду с амплитудой 1 и периодом $\frac{2\pi}{3}$.

3) $y = -\frac{1}{2}\sin x$

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\sin x$ возьмем за основу график $y = \sin x$. Преобразование состоит из двух частей: сжатие вдоль оси OY в 2 раза (коэффициент $\frac{1}{2}$) и зеркальное отражение относительно оси OX (знак "минус").Амплитуда функции станет равной $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Период не изменится и останется $T = 2\pi$. Область значений функции: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.Ключевые точки: • При $x=0$, $y=0$. • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2}$. • При $x=\pi$, $y=0$. • При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y = -\frac{1}{2}\sin(\frac{3\pi}{2})=\frac{1}{2}$. • При $x=2\pi$, $y=0$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\sin x$ - это синусоида, сжатая по вертикали, отраженная относительно оси OX, с амплитудой $\frac{1}{2}$ и периодом $2\pi$.

4) $y = \sin \frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = \sin \frac{x}{2}$ возьмем за основу график $y = \sin x$. Преобразование является растяжением исходного графика вдоль оси OX от оси OY в 2 раза. Это означает, что период функции увеличится в 2 раза.Новый период $T' = \frac{T}{1/2} = 2T = 4\pi$. Амплитуда функции не изменится и останется равной 1. Область значений функции: $[-1; 1]$.Ключевые точки одного периода: • При $x=0$, $y=0$. • При $x=\pi$, $y=\sin(\frac{\pi}{2})=1$. • При $x=2\pi$, $y=\sin(\pi)=0$. • При $x=3\pi$, $y=\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$. • При $x=4\pi$, $y=\sin(2\pi)=0$.

Ответ: График функции $y = \sin \frac{x}{2}$ - это синусоида с амплитудой 1 и периодом $4\pi$.

5) $y = 2\operatorname{tg} x$

Для построения графика функции $y = 2\operatorname{tg} x$ возьмем за основу график $y = \operatorname{tg} x$. Преобразование является растяжением исходного графика вдоль оси OY в 2 раза. Каждая ордината графика $y=\operatorname{tg} x$ умножается на 2.Период функции не меняется и равен $T=\pi$. Вертикальные асимптоты остаются прежними: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.Ключевые точки одной ветви: • При $x=0$, $y=0$. • При $x=\frac{\pi}{4}$, $y=2\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})=2$. • При $x=-\frac{\pi}{4}$, $y=2\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})=-2$.

Ответ: График функции $y = 2\operatorname{tg} x$ - это тангенсоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY, с периодом $\pi$ и асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

6) $y = \operatorname{tg} 2x$

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} 2x$ возьмем за основу график $y = \operatorname{tg} x$. Преобразование является сжатием исходного графика вдоль оси OX к оси OY в 2 раза.Период функции уменьшится в 2 раза: $T' = \frac{T}{2} = \frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты также сдвинутся: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.Ключевые точки одной ветви: • При $x=0$, $y=0$. • При $x=\frac{\pi}{8}$, $y=\operatorname{tg}(2 \cdot \frac{\pi}{8})=\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})=1$. • При $x=-\frac{\pi}{8}$, $y=\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})=-1$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} 2x$ - это тангенсоида, сжатая в 2 раза вдоль оси OX, с периодом $\frac{\pi}{2}$ и асимптотами $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

7) $y = \frac{1}{3}\operatorname{ctg} x$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}\operatorname{ctg} x$ возьмем за основу график $y = \operatorname{ctg} x$. Преобразование является сжатием исходного графика вдоль оси OY в 3 раза.Период функции не меняется и равен $T=\pi$. Вертикальные асимптоты остаются прежними: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.Ключевые точки одной ветви: • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=0$. • При $x=\frac{\pi}{4}$, $y=\frac{1}{3}\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{3}$. • При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=\frac{1}{3}\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{3}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}\operatorname{ctg} x$ - это котангенсоида, сжатая в 3 раза вдоль оси OY, с периодом $\pi$ и асимптотами $x = k\pi$.

8) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$

Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$ возьмем за основу график $y = \operatorname{ctg} x$. Преобразование является растяжением исходного графика вдоль оси OX от оси OY в 3 раза.Период функции увеличится в 3 раза: $T' = \frac{T}{1/3} = 3T = 3\pi$. Вертикальные асимптоты сместятся: $\frac{x}{3} = k\pi \implies x = 3k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.Ключевые точки одной ветви: • При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y=\operatorname{ctg}(\frac{3\pi/2}{3})=\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=\operatorname{ctg}(\frac{3\pi/4}{3})=\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})=1$. • При $x=\frac{9\pi}{4}$, $y=\operatorname{ctg}(\frac{9\pi/4}{3})=\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})=-1$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$ - это котангенсоида, растянутая в 3 раза вдоль оси OX, с периодом $3\pi$ и асимптотами $x = 3k\pi$.

9) $y = \frac{1}{2}\cos 2x$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}\cos 2x$ возьмем за основу график $y = \cos x$. Применяются два преобразования: сжатие вдоль оси OY в 2 раза (амплитуда станет $\frac{1}{2}$) и сжатие вдоль оси OX в 2 раза (период станет $\frac{2\pi}{2}=\pi$).Период функции: $T = \pi$. Амплитуда: $A = \frac{1}{2}$. Область значений: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.Ключевые точки одного периода: • При $x=0$, $y=\frac{1}{2}\cos(0)=\frac{1}{2}$. • При $x=\frac{\pi}{4}$, $y=\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{2})=0$. • При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=\frac{1}{2}\cos(\pi)=-\frac{1}{2}$. • При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=\frac{1}{2}\cos(\frac{3\pi}{2})=0$. • При $x=\pi$, $y=\frac{1}{2}\cos(2\pi)=\frac{1}{2}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\cos 2x$ - это косинусоида, сжатая в 2 раза по обеим осям, с амплитудой $\frac{1}{2}$ и периодом $\pi$.