Номер 2.22, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22. 1) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 4$;

3) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$;

4) $y = 3 - \text{ctg} \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

1) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \sin(x)$ с помощью преобразования сдвига (параллельного переноса).

Общий вид функции со сдвигом по горизонтали: $y = f(x - c)$. Если $c > 0$, график сдвигается вправо, если $c < 0$ — влево.

В нашем случае $f(x) = \sin(x)$ и $c = \frac{\pi}{3}$. Так как $c > 0$, то происходит сдвиг графика функции $y = \sin(x)$ вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо.

2) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 4$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \cos(x)$ с помощью двух преобразований: сдвига по горизонтали и сдвига по вертикали.

1. Сдвиг по горизонтали: Аргумент функции $x + \frac{\pi}{4}$ можно представить в виде $x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Здесь $c = -\frac{\pi}{4}$. Так как $c < 0$, происходит сдвиг графика $y = \cos(x)$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц. Получаем промежуточную функцию $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

2. Сдвиг по вертикали: Преобразование вида $y = f(x) + d$ соответствует сдвигу графика вдоль оси ординат (оси Oy). В нашем случае $d=4$. Так как $d > 0$, происходит сдвиг графика вверх на 4 единицы.

Следовательно, для построения искомого графика нужно сдвинуть график $y = \cos(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ влево, а затем на 4 единицы вверх.

Ответ: График функции $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 4$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево и параллельного переноса вдоль оси Oy на 4 единицы вверх.

3) $y = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{tg}(x)$ с помощью двух преобразований: сдвига по горизонтали и сдвига по вертикали.

1. Сдвиг по горизонтали: Аргумент функции $x - \frac{\pi}{4}$. Здесь $c = \frac{\pi}{4}$. Так как $c > 0$, происходит сдвиг графика $y = \operatorname{tg}(x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц. Получаем промежуточную функцию $y = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

2. Сдвиг по вертикали: Из функции вычитается 1, т.е. $d = -1$. Так как $d < 0$, происходит сдвиг графика вниз вдоль оси Oy на 1 единицу.

Следовательно, для построения искомого графика нужно сдвинуть график $y = \operatorname{tg}(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо, а затем на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg}(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо и параллельного переноса вдоль оси Oy на 1 единицу вниз.

4) $y = 3 - \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Запишем функцию в виде $y = -\operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 3$. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{ctg}(x)$ с помощью трех преобразований: отражения, сдвига по горизонтали и сдвига по вертикали.

1. Отражение: Знак "минус" перед функцией, т.е. преобразование $y = -f(x)$, соответствует симметричному отражению графика $y = \operatorname{ctg}(x)$ относительно оси Ox. Получаем график функции $y = -\operatorname{ctg}(x)$.

2. Сдвиг по горизонтали: Аргумент функции $x + \frac{\pi}{6}$ соответствует сдвигу графика $y = -\operatorname{ctg}(x)$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ единиц (так как $c = -\frac{\pi}{6} < 0$). Получаем промежуточную функцию $y = -\operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

3. Сдвиг по вертикали: Прибавление 3, т.е. $d=3$, соответствует сдвигу графика вверх вдоль оси Oy на 3 единицы.

Таким образом, для построения искомого графика нужно график $y = \operatorname{ctg}(x)$ отразить относительно оси Ox, затем сдвинуть на $\frac{\pi}{6}$ влево и на 3 единицы вверх.

Ответ: График функции $y = 3 - \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg}(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси Ox, последующего параллельного переноса вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ единиц влево и параллельного переноса вдоль оси Oy на 3 единицы вверх.