Номер 2.26, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.26. 1) $y = |\sin x| + \sin|x|;$

2) $y = x - \sin x;$

3) $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x;$

4) $|y| = \sin x.$

1) Для функции $y = |\sin x| + \sin|x|$ проверим выполнение свойств четности и нечетности.
Обозначим $f(x) = |\sin x| + \sin|x|$. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = |\sin(-x)| + \sin|-x|$.
Используя свойства тригонометрических функций и модуля, а именно $\sin(-x) = -\sin x$ и $|-a| = |a|$, получаем:
$f(-x) = |-\sin x| + \sin|x| = |\sin x| + \sin|x|$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Это означает, что функция является четной.
Ответ: функция четная.

2) Для функции $y = x - \sin x$ проверим выполнение свойств четности и нечетности.
Обозначим $f(x) = x - \sin x$. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x) - \sin(-x)$.
Поскольку синус является нечетной функцией ($\sin(-x) = -\sin x$), имеем:
$f(-x) = -x - (-\sin x) = -x + \sin x = -(x - \sin x)$.
Таким образом, $f(-x) = -f(x)$. Это означает, что функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

3) Для функции $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$ проверим выполнение свойств четности и нечетности.
Обозначим $f(x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$. Область определения функции задается условиями $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.
Тангенс и котангенс являются нечетными функциями ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), поэтому:
$f(-x) = -\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x = -(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x)$.
Таким образом, $f(-x) = -f(x)$. Это означает, что функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

4) Рассмотрим соотношение $|y| = \sin x$.
Это выражение задает зависимость между $x$ и $y$, но не является функцией вида $y = f(x)$ в общепринятом смысле, так как одному значению $x$ (при $\sin x > 0$) могут соответствовать два значения $y$ (а именно $y = \sin x$ и $y = -\sin x$).
Найдем область определения данной зависимости. Так как левая часть $|y|$ всегда неотрицательна ($|y| \ge 0$), то и правая часть должна быть неотрицательной: $\sin x \ge 0$.
Это неравенство выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Полученная область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит области определения, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \ge 0$. Однако симметричная ей точка $x = -\frac{\pi}{2}$ не принадлежит области определения, поскольку $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 < 0$.
Для того чтобы функция (или зависимость) была четной или нечетной, ее область определения должна быть симметричной относительно нуля. Так как это условие не выполняется, данная зависимость не является ни четной, ни нечетной. Такие функции называют функциями общего вида.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).