Номер 2.23, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.23. 1) $y = |\sin 2x|;$

2) $y = \cos \left|\frac{x}{2}\right|;$

3) $y = \left|\operatorname{tg} \frac{x}{2} - 1\right|;$

4) $y = \operatorname{ctg} |3x + 2|.$

1) $y = |\sin 2x|$

Для нахождения основного периода функции $y = |\sin 2x|$ проанализируем последовательные преобразования.

1. Основной период функции $f(u) = \sin u$ равен $T_0 = 2\pi$.

2. Рассмотрим функцию $g(x) = \sin(2x)$. Она получена из $\sin u$ путем замены $u$ на $2x$. Это соответствует сжатию графика по оси абсцисс в 2 раза. Период этой функции $T_1$ вычисляется по формуле $T_1 = \frac{T_0}{|k|}$, где $k=2$.
$T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Теперь рассмотрим функцию $y = |\sin 2x|$. Применение модуля к функции $g(x) = \sin(2x)$ приводит к тому, что все отрицательные значения функции становятся положительными (часть графика, расположенная ниже оси Ох, симметрично отражается вверх). Для функций синуса и косинуса такое преобразование уменьшает период в два раза.

Визуализация преобразования:

4. Следовательно, основной период функции $y = |\sin 2x|$ равен:
$T = \frac{T_1}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Основной период функции равен $\frac{\pi}{2}$.

2) $y = \cos\frac{|x|}{2}$

1. Рассмотрим функцию $y = \cos\frac{|x|}{2}$. Ключевым свойством для ее анализа является четность функции косинус.

2. Функция $f(u) = \cos u$ является четной, что означает $\cos(-u) = \cos(u)$ для любого значения $u$.

3. Проанализируем выражение $y = \cos\frac{|x|}{2}$ для разных значений $x$:
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \cos\frac{x}{2}$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \cos\frac{-x}{2}$.

4. Используя свойство четности косинуса, преобразуем выражение для $x < 0$:
$\cos\frac{-x}{2} = \cos\frac{x}{2}$.

5. Таким образом, мы видим, что для любого действительного $x$ значение функции $y = \cos\frac{|x|}{2}$ совпадает со значением функции $y = \cos\frac{x}{2}$. Эти две функции тождественны.

6. Теперь найдем основной период функции $y = \cos\frac{x}{2}$. Основной период функции $\cos u$ равен $2\pi$. Период для функции вида $\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

7. В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, период равен:
$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$.

Ответ: Основной период функции равен $4\pi$.

3) $y = \left|\text{tg}\frac{x}{2} - 1\right|$

1. Сначала определим период функции $g(x) = \text{tg}\frac{x}{2} - 1$.

2. Основной период функции $f(u) = \text{tg} u$ равен $\pi$.

3. В функции $\text{tg}\frac{x}{2}$ аргумент умножается на коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Период этой функции $T_1 = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

4. Вертикальный сдвиг на -1 (вычитание константы) не влияет на периодичность функции. Следовательно, период функции $g(x) = \text{tg}\frac{x}{2} - 1$ также равен $T_g = 2\pi$.

5. Теперь рассмотрим влияние модуля: $y(x) = |g(x)| = \left|\text{tg}\frac{x}{2} - 1\right|$. Период функции $|f(x)|$ равен периоду $f(x)$ или его половине. Период сокращается вдвое только в том случае, если для функции $f(x)$ с периодом $T$ выполняется условие $f(x + T/2) = -f(x)$.

6. Проверим это условие для нашей функции $g(x)$ с периодом $T = 2\pi$. Половина периода $T/2 = \pi$. Нам нужно проверить, выполняется ли тождество $g(x+\pi) = -g(x)$.

$g(x+\pi) = \text{tg}\left(\frac{x+\pi}{2}\right) - 1 = \text{tg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right) - 1$.

Используя формулу приведения $\text{tg}(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}\alpha$, получаем:

$g(x+\pi) = -\text{ctg}\frac{x}{2} - 1$.

С другой стороны, $-g(x) = -\left(\text{tg}\frac{x}{2} - 1\right) = 1 - \text{tg}\frac{x}{2}$.

7. Сравним выражения: $-\text{ctg}\frac{x}{2} - 1$ и $1 - \text{tg}\frac{x}{2}$. Очевидно, что эти выражения не равны для всех $x$. Например, при $x = \pi/2$:
$g(\pi/2 + \pi) = -\text{ctg}(\pi/4) - 1 = -1 - 1 = -2$.
$-g(\pi/2) = -(\text{tg}(\pi/4) - 1) = -(1-1) = 0$.
Так как $-2 \neq 0$, условие не выполняется.

8. Это означает, что применение модуля не уменьшает период функции вдвое.

Ответ: Основной период функции равен $2\pi$.

4) $y = \text{ctg}|3x + 2|$

1. Рассмотрим функцию $y = \text{ctg}|3x + 2|$. Для анализа важно свойство нечетности функции котангенс.

2. Функция $f(u) = \text{ctg} u$ является нечетной, то есть $\text{ctg}(-u) = -\text{ctg}(u)$.

3. Наличие модуля в аргументе нечетной функции, как правило, приводит к тому, что итоговая функция не является периодической на всей своей области определения.

4. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
- Если $3x+2 > 0$ (т.е. $x > -2/3$), то $|3x+2| = 3x+2$, и функция имеет вид $y = \text{ctg}(3x+2)$. На этом интервале функция периодична с периодом $T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.
- Если $3x+2 < 0$ (т.е. $x < -2/3$), то $|3x+2| = -(3x+2)$, и функция имеет вид $y = \text{ctg}(-(3x+2))$. Из-за нечетности котангенса, $y = -\text{ctg}(3x+2)$. На этом интервале функция также имеет периодическое поведение с периодом $\frac{\pi}{3}$, но ее график является отражением графика $\text{ctg}(3x+2)$ относительно оси Ox.

5. Точка $x = -2/3$ является точкой "излома", нарушающей общую периодичность. График функции не имеет единого повторяющегося фрагмента по всей оси $x$.

6. Чтобы формально доказать отсутствие периодичности, предположим, что период $T$ существует. Тогда должно выполняться равенство $y(x+T) = y(x)$ для всех $x$ из области определения. Наиболее вероятным кандидатом на период был бы $T = \pi/3$.

7. Проверим это равенство для точки, "пересекающей" границу $x=-2/3$. Возьмем $x=-1$ (что меньше $-2/3$).
$y(-1) = \text{ctg}|3(-1)+2| = \text{ctg}|-1| = \text{ctg}(1)$.

8. Теперь вычислим значение в точке $x+T = -1 + \pi/3$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\pi/3 \approx 1.047$, и $-1+\pi/3 \approx 0.047$, что больше $-2/3$.
$y(-1+\pi/3) = \text{ctg}|3(-1+\pi/3)+2| = \text{ctg}|-3+\pi+2| = \text{ctg}|\pi-1|$.

9. Так как $3 < \pi < 4$, то $\pi-1 > 0$, поэтому $|\pi-1| = \pi-1$. Следовательно, $y(-1+\pi/3) = \text{ctg}(\pi-1)$.

10. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi-u) = -\text{ctg} u$, получаем: $\text{ctg}(\pi-1) = -\text{ctg}(1)$.

11. Мы получили, что $y(-1) = \text{ctg}(1)$, а $y(-1+\pi/3) = -\text{ctg}(1)$. Поскольку $\text{ctg}(1) \neq 0$, то $y(-1) \neq y(-1+\pi/3)$.

12. Равенство $y(x+T) = y(x)$ не выполняется. Следовательно, функция не является периодической.

Ответ: Функция не является периодической.