Вопросы, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Разъясните смысл слов «сжатие» и «растяжение» графика функции.

2. Как с помощью графика функции $y = f(x)$ построить график функции $y = f(x - m) + n$?

1. Слова «сжатие» и «растяжение» графика функции описывают геометрические преобразования, которые изменяют форму графика, делая его более «узким» или «широким» вдоль одной из координатных осей. Эти преобразования делятся на вертикальные (вдоль оси $Oy$) и горизонтальные (вдоль оси $Ox$).

Вертикальное сжатие и растяжение

Эти преобразования связаны с умножением всей функции на некоторый коэффициент $a$, то есть переходом от графика $y = f(x)$ к графику $y = a \cdot f(x)$.

• Если $|a| > 1$, происходит вертикальное растяжение (или растяжение от оси $Ox$). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, a \cdot y_0)$. График становится «выше», так как ординаты всех его точек увеличиваются по модулю в $a$ раз.

  Пример: Растяжение графика $y = \sin(x)$ в 2 раза для получения $y = 2\sin(x)$.

• Если $0 < |a| < 1$, происходит вертикальное сжатие (или сжатие к оси $Ox$). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, a \cdot y_0)$. График становится «ниже», так как ординаты всех его точек уменьшаются по модулю в $1/|a|$ раз.

  Пример: Сжатие графика $y = \sin(x)$ в 2 раза для получения $y = 0.5\sin(x)$.

Горизонтальное сжатие и растяжение

Эти преобразования связаны с умножением аргумента функции на некоторый коэффициент $k$, то есть переходом от графика $y = f(x)$ к графику $y = f(kx)$. Здесь эффект обратный по сравнению с вертикальными преобразованиями.

• Если $|k| > 1$, происходит горизонтальное сжатие (или сжатие к оси $Oy$). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0/k, y_0)$. График становится «уже», так как абсциссы всех его точек уменьшаются по модулю в $k$ раз.

  Пример: Сжатие графика $y = \sin(x)$ в 2 раза для получения $y = \sin(2x)$.

• Если $0 < |k| < 1$, происходит горизонтальное растяжение (или растяжение от оси $Oy$). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0/k, y_0)$. График становится «шире», так как абсциссы всех его точек увеличиваются по модулю в $1/|k|$ раз.

  Пример: Растяжение графика $y = \sin(x)$ в 2 раза для получения $y = \sin(x/2)$.

Примечание: если коэффициенты $a$ или $k$ отрицательны, то помимо сжатия/растяжения происходит симметричное отражение графика относительно оси $Ox$ (для $a<0$) или $Oy$ (для $k<0$).

Ответ: «Сжатие» и «растяжение» — это преобразования графика функции. Растяжение делает график «шире» (горизонтальное) или «выше» (вертикальное), а сжатие — «уже» (горизонтальное) или «ниже» (вертикальное). Вертикальные преобразования $y=a \cdot f(x)$ изменяют ординаты точек, а горизонтальные $y=f(kx)$ — абсциссы.

2. Чтобы построить график функции $y = f(x - m) + n$ с помощью графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика. Это преобразование можно разбить на два последовательных шага: сдвиг по горизонтали и сдвиг по вертикали.

Шаг 1: Горизонтальный сдвиг

Преобразование $y = f(x-m)$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ вдоль оси $Ox$.

• Если $m > 0$, график сдвигается вправо на $m$ единиц.

• Если $m < 0$, то выражение можно записать как $y = f(x + |m|)$. В этом случае график сдвигается влево на $|m|$ единиц.

Интуитивно это можно понять так: чтобы получить то же значение функции $f$, аргумент должен остаться прежним. Если мы вычитаем $m$ из $x$, то чтобы аргумент $(x-m)$ был равен старому аргументу $x_{old}$, новое значение $x$ должно быть $x = x_{old} + m$.

Шаг 2: Вертикальный сдвиг

Преобразование $y = g(x) + n$ (где $g(x)$ — уже сдвинутая по горизонтали функция) соответствует сдвигу графика вдоль оси $Oy$.

• Если $n > 0$, график сдвигается вверх на $n$ единиц.

• Если $n < 0$, график сдвигается вниз на $|n|$ единиц.

Это преобразование более очевидно: к каждому значению функции $g(x)$ мы просто прибавляем число $n$, тем самым изменяя ординату каждой точки.

Общий случай

Таким образом, для построения графика $y = f(x - m) + n$ из графика $y = f(x)$ нужно выполнить параллельный перенос всех точек исходного графика на вектор $\vec{v}(m, n)$. То есть, каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ перейдет в точку $(x_0 + m, y_0 + n)$ на новом графике.

Пример: Построение графика $y = (x-3)^2 + 2$ из графика $y=x^2$. Здесь $m=3, n=2$. Нужно сдвинуть параболу $y=x^2$ на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x-m)+n$ из графика $y = f(x)$, нужно выполнить параллельный перенос исходного графика: сдвинуть его на $m$ единиц по горизонтали (вправо при $m>0$, влево при $m<0$) и на $n$ единиц по вертикали (вверх при $n>0$, вниз при $n<0$).