Номер 2.16, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.16. Докажите, что функция $y = \sin x + \{x\}$ непериодическая. Не противоречит ли это выводам задачи 2.15?

Докажите, что функция $y = \sin x + \{x\}$ непериодическая.

Предположим от противного, что функция $y(x) = \sin x + \{x\}$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$. Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$.

По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения (все действительные числа $\mathbb{R}$) должно выполняться равенство:$y(x+T) = y(x)$

Подставив выражение для функции, получим:$\sin(x+T) + \{x+T\} = \sin x + \{x\}$

Перегруппируем слагаемые:$\sin(x+T) - \sin x = \{x\} - \{x+T\}$

Рассмотрим два возможных случая для периода $T$.

Случай 1: $T$ — целое число.
Если $T$ — целое число, то по свойству дробной части $\{x+T\} = \{x\}$ для любого действительного $x$.
В этом случае равенство принимает вид:$\sin(x+T) - \sin x = \{x\} - \{x\} = 0$$\sin(x+T) = \sin x$

Это равенство должно выполняться для всех $x$, что означает, что $T$ является периодом функции $\sin x$. Все периоды синуса имеют вид $2\pi k$, где $k$ — ненулевое целое число ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$).
Таким образом, мы приходим к тому, что целое число $T$ должно быть равно $2\pi k$. Однако число $\pi$ иррационально, и, следовательно, произведение $2\pi k$ также иррационально для любого $k \neq 0$. Целое число не может быть равно иррациональному. Это противоречие.
Следовательно, период $T$ не может быть целым числом.

Случай 2: $T$ — нецелое число.
Рассмотрим снова равенство $\sin(x+T) - \sin x = \{x\} - \{x+T\}$.
Левая часть этого равенства, функция $L(x) = \sin(x+T) - \sin x$, является непрерывной на всей числовой оси, так как представляет собой разность двух непрерывных функций.
Правая часть, функция $R(x) = \{x\} - \{x+T\}$, имеет точки разрыва. Функция $\{x\}$ разрывна в каждой целой точке $x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для того чтобы равенство $L(x) = R(x)$ выполнялось для всех $x$, функция $R(x)$ также должна быть непрерывной. Проверим непрерывность $R(x)$ в любой целой точке, например, в $x=1$. Для непрерывности в точке $x=1$ необходимо, чтобы пределы функции слева и справа в этой точке были равны.
Найдем односторонние пределы $R(x)$ при $x \to 1$:
Предел справа:$\lim_{x\to 1^+} R(x) = \lim_{x\to 1^+} (\{x\} - \{x+T\})$При $x \to 1^+$, имеем $\{x\} \to 0$. Так как $T$ нецелое, $1+T$ также нецелое, и функция $\{u\}$ непрерывна в точке $u=1+T$. Поэтому $\lim_{x\to 1^+} \{x+T\} = \{1+T\} = \{T\}$.Таким образом, $\lim_{x\to 1^+} R(x) = 0 - \{T\} = -\{T\}$.

Предел слева:$\lim_{x\to 1^-} R(x) = \lim_{x\to 1^-} (\{x\} - \{x+T\})$При $x \to 1^-$, имеем $\{x\} \to 1$. Предел $\lim_{x\to 1^-} \{x+T\}$ по-прежнему равен $\{1+T\} = \{T\}$.Таким образом, $\lim_{x\to 1^-} R(x) = 1 - \{T\}$.

Для непрерывности функции $R(x)$ в точке $x=1$ требуется равенство пределов:$\lim_{x\to 1^+} R(x) = \lim_{x\to 1^-} R(x)$$-\{T\} = 1 - \{T\}$$0 = 1$

Мы получили неверное равенство, что является противоречием. Это означает, что функция $R(x)$ имеет разрыв в точке $x=1$. Следовательно, равенство непрерывной функции $L(x)$ и разрывной функции $R(x)$ не может выполняться для всех значений $x$.
Поскольку оба случая (T — целое и T — нецелое) привели к противоречию, наше первоначальное предположение о существовании периода $T>0$ неверно.
Ответ: Доказано, что функция $y = \sin x + \{x\}$ не является периодической.

Не противоречит ли это выводам задачи 2.15?

Функция $y(x) = \sin x + \{x\}$ является суммой двух периодических функций: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \{x\}$.
Наименьший положительный период функции $f(x) = \sin x$ равен $T_1 = 2\pi$.
Наименьший положительный период функции $g(x) = \{x\}$ равен $T_2 = 1$.

Сумма двух периодических функций с периодами $T_1$ и $T_2$ является периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение их периодов $T_1/T_2$ является рациональным числом (то есть периоды соизмеримы). Если же отношение периодов иррационально (периоды несоизмеримы), то сумма не будет периодической функцией.

В данном случае отношение периодов равно:$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$

Число $2\pi$ является иррациональным. Это означает, что периоды функций $\sin x$ и $\{x\}$ несоизмеримы. Согласно указанной выше теореме, их сумма $y(x) = \sin x + \{x\}$ не является периодической функцией.
Наш результат полностью согласуется с общей теорией периодических функций. Вероятнее всего, в задаче 2.15 рассматривался случай суммы функций с соизмеримыми периодами, где сумма действительно периодична. Например, функция $\sin(2x) + \cos(3x)$ периодична, так как отношение периодов $T_1/T_2 = (\pi)/(2\pi/3) = 3/2$ рационально.

Таким образом, вывод о непериодичности функции $y = \sin x + \{x\}$ не вступает в противоречие с выводами задачи 2.15, а служит иллюстрацией другого случая — случая с несоизмеримыми периодами.

Ответ: Нет, не противоречит. Результат объясняется тем, что отношение периодов функций-слагаемых ($\sin x$ и $\{x\}$) является иррациональным числом. Теорема о периодичности суммы функций, вероятно, обсуждавшаяся в задаче 2.15, применима только для функций с соизмеримыми периодами (рациональным отношением периодов).