Номер 2.13, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.13. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции $y = |\operatorname{tg} x|$.

Для того чтобы найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции $y = |\tg x|$, проанализируем ее свойства.

1. Область определения. Функция тангенса $\tg x$ определена для всех $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Область определения функции $y = |\tg x|$ совпадает с областью определения $\tg x$: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

2. Периодичность. Функция $\tg x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Проверим периодичность функции $y = |\tg x|$: $y(x+\pi) = |\tg(x+\pi)| = |\tg x| = y(x)$. Следовательно, функция $y = |\tg x|$ также является периодической с периодом $T = \pi$. Это позволяет нам исследовать функцию на одном периоде, например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, и затем обобщить результаты на всю область определения.

3. Производная и монотонность. Раскроем модуль в зависимости от знака $\tg x$:
$y = |\tg x| = \begin{cases} \tg x, & \text{если } \tg x \ge 0 \\ -\tg x, & \text{если } \tg x < 0 \end{cases}$
Знак $\tg x$ зависит от четверти, в которой находится $x$. Учитывая периодичность, получаем:
$y = |\tg x| = \begin{cases} \tg x, & \text{для } x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \\ -\tg x, & \text{для } x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n) \end{cases}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем производную функции $y'$ на интервалах, где она существует:
$y' = \begin{cases} (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}, & \text{для } x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \\ (-\tg x)' = -\frac{1}{\cos^2 x}, & \text{для } x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n) \end{cases}$
В точках $x = \pi n$, где $\tg x = 0$, производная не существует, так как график функции в этих точках имеет излом. Эти точки являются критическими.

Промежутки возрастания
Функция возрастает, когда ее производная положительна: $y' > 0$.
Это соответствует условию $\frac{1}{\cos^2 x} > 0$, которое выполняется на интервалах, где $\tg x > 0$.
Эти интервалы имеют вид $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ для любого целого $n$.
Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки убывания
Функция убывает, когда ее производная отрицательна: $y' < 0$.
Это соответствует условию $-\frac{1}{\cos^2 x} < 0$, которое выполняется на интервалах, где $\tg x < 0$.
Эти интервалы имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$ для любого целого $n$.
Ответ: функция убывает на каждом из промежутков $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы
Экстремумы могут достигаться в критических точках, где производная равна нулю или не существует. Производная $y'$ никогда не обращается в ноль. Она не существует в точках $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим поведение функции в окрестности точки $x = \pi n$. Слева от этой точки (на интервале $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$) функция убывает ($y' < 0$), а справа от точки (на интервале $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$) функция возрастает ($y' > 0$).
Согласно первому признаку экстремума, в точках $x = \pi n$ функция имеет точки минимума.
Значение функции в этих точках: $y_{min} = y(\pi n) = |\tg(\pi n)| = |0| = 0$.
Поскольку $y = |\tg x| \ge 0$ для всех $x$ из области определения, эти минимумы являются также и глобальными (абсолютными) минимумами.
Точек максимума у функции нет. Локальных максимумов нет, так как производная не меняет знак с плюса на минус. Глобального максимума нет, так как функция не ограничена сверху (при $x \to \frac{\pi}{2} + \pi n$ значение $y \to +\infty$).
Ответ: точки минимума $x_{min} = \pi n$, значение в минимуме $y_{min} = 0$, где $n \in \mathbb{Z}$. Точек максимума нет.