Номер 2.8, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.8. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\frac{1}{\sin x - 1}$;

2) $\frac{1}{1 + \cos x}$;

3) $\frac{1}{\sqrt[3]{\sin x}}$;

4) $\sqrt[3]{\cos(-x)}$;

5) $\sqrt{\operatorname{tg}^3(-x)}$;

6) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2x}\right)?$

1) Выражение $\frac{1}{\sin x - 1}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Требуется выполнение условия: $\sin x - 1 \neq 0$.
Это равносильно $\sin x \neq 1$.
Уравнение $\sin x = 1$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме указанных.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Выражение $\frac{1}{1 + \cos x}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Требуется выполнение условия: $1 + \cos x \neq 0$.
Это равносильно $\cos x \neq -1$.
Уравнение $\cos x = -1$ имеет решения $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме указанных.
Ответ: $x \neq \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Выражение $\frac{1}{\sqrt[3]{\sin x}}$ имеет смысл, когда выражение в знаменателе определено и не равно нулю. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного числа, поэтому единственное ограничение — это равенство знаменателя нулю.
$\sqrt[3]{\sin x} \neq 0$
Возведя обе части в куб, получаем:
$\sin x \neq 0$
Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме указанных.
Ответ: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Выражение $\sqrt[3]{\cos(-x)}$ представляет собой корень нечетной (третьей) степени. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения.
Функция $\cos(-x)$ является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$, и определена для всех действительных значений $x$.
Поскольку подкоренное выражение $\cos x$ определено для любого $x$, то и все выражение имеет смысл при любых значениях $x$.
Ответ: $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

5) Выражение $\sqrt{\text{tg}^3(-x)}$ имеет смысл, когда выполнены два условия:
1. Выражение под корнем четной (квадратной) степени должно быть неотрицательным: $\text{tg}^3(-x) \ge 0$. Это неравенство равносильно неравенству $\text{tg}(-x) \ge 0$. Так как тангенс является нечетной функцией, $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$. Получаем неравенство $-\text{tg}(x) \ge 0$, что равносильно $\text{tg}(x) \le 0$.
2. Сама функция тангенса должна быть определена. $\text{tg}(-x)$ определен, когда его аргумент $-x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq -\frac{\pi}{2} - \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), что совпадает с областью определения $\text{tg}(x)$.
Решаем неравенство $\text{tg}(x) \le 0$ с учетом области определения. Тангенс равен нулю или отрицателен, когда угол $x$ находится во второй или четвертой координатной четверти (включая концы промежутков, где $\text{tg}(x) = 0$, но исключая те, где он не определен).
Это соответствует промежуткам вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

6) Выражение $\text{tg}(\frac{\pi}{2x})$ имеет смысл, когда выполнены два условия:
1. Аргумент тангенса, $\frac{\pi}{2x}$, должен быть определен. Это требует, чтобы знаменатель был не равен нулю: $x \neq 0$.
2. Функция тангенса от аргумента определена, если сам аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{\pi}{2x} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{1}{2x} \neq \frac{1}{2} + n$
$\frac{1}{2x} \neq \frac{1+2n}{2}$
Так как $1+2n$ (любое нечетное число) не может быть нулем, мы можем взять обратные величины от обеих частей:
$2x \neq \frac{2}{1+2n}$
$x \neq \frac{1}{1+2n}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя оба условия, получаем итоговые ограничения на $x$.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq \frac{1}{2n+1}, n \in \mathbb{Z}$.