Номер 2.4, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.4. Сравните числа:

1) $ \sin \frac{7\pi}{5} $ и $ \sin \frac{17\pi}{10} $;

2) $ \cos \frac{6\pi}{5} $ и $ \cos \frac{4\pi}{5} $;

3) $ \text{tg } 1,5 $ и $ \text{tg } 1,6 $;

4) $ \text{tg } 3,14 $ и $ \text{tg } \pi $;

5) $ \text{ctg } \frac{8\pi}{5} $ и $ \text{ctg } \frac{7\pi}{5} $;

6) $ \text{ctg } \frac{\pi}{2} $ и $ \text{ctg } 1,5 $.

1) Сравним $sin\frac{7\pi}{5}$ и $sin\frac{17\pi}{10}$. Для этого определим положение углов на тригонометрической окружности. Угол $\frac{7\pi}{5} = 1.4\pi$ находится в III четверти, так как $\pi < 1.4\pi < \frac{3\pi}{2}$. Угол $\frac{17\pi}{10} = 1.7\pi$ находится в IV четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < 1.7\pi < 2\pi$. В обеих этих четвертях синус отрицателен. Используем формулы приведения: $sin\frac{7\pi}{5} = sin(\pi + \frac{2\pi}{5}) = -sin\frac{2\pi}{5}$ и $sin\frac{17\pi}{10} = sin(2\pi - \frac{3\pi}{10}) = -sin\frac{3\pi}{10}$. Сравнение сводится к сравнению $-sin\frac{2\pi}{5}$ и $-sin\frac{3\pi}{10}$. Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{10}$. Теперь сравним $sin\frac{4\pi}{10}$ и $sin\frac{3\pi}{10}$. Оба угла $\frac{3\pi}{10}$ и $\frac{4\pi}{10}$ находятся в I четверти, где функция $y=sin(x)$ возрастает. Так как $\frac{4\pi}{10} > \frac{3\pi}{10}$, то $sin\frac{4\pi}{10} > sin\frac{3\pi}{10}$. При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-sin\frac{4\pi}{10} < -sin\frac{3\pi}{10}$. Таким образом, $sin\frac{7\pi}{5} < sin\frac{17\pi}{10}$. Ответ: $sin\frac{7\pi}{5} < sin\frac{17\pi}{10}$.

2) Сравним $cos\frac{6\pi}{5}$ и $cos\frac{4\pi}{5}$. Углы $\frac{4\pi}{5}$ и $\frac{6\pi}{5}$ симметричны относительно точки $\pi$ на числовой окружности. Расстояние от каждого из них до $\pi$ одинаково и равно $\frac{\pi}{5}$. Используем формулы приведения: $cos\frac{4\pi}{5} = cos(\pi - \frac{\pi}{5}) = -cos\frac{\pi}{5}$. Аналогично, $cos\frac{6\pi}{5} = cos(\pi + \frac{\pi}{5}) = -cos\frac{\pi}{5}$. Так как правые части выражений равны, то равны и левые. Ответ: $cos\frac{6\pi}{5} = cos\frac{4\pi}{5}$.

3) Сравним $tg 1,5$ и $tg 1,6$. Углы даны в радианах. Определим, в каких четвертях они находятся, сравнив их с числом $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,1416}{2} \approx 1,5708$. Угол $1,5$ радиан меньше, чем $\frac{\pi}{2}$, значит, он находится в I четверти, где тангенс положителен: $tg 1,5 > 0$. Угол $1,6$ радиан больше, чем $\frac{\pi}{2}$, но меньше $\pi \approx 3,1416$, значит, он находится во II четверти, где тангенс отрицателен: $tg 1,6 < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного. Ответ: $tg 1,5 > tg 1,6$.

4) Сравним $tg 3,14$ и $tg \pi$. Значение $tg \pi = 0$. Угол $3,14$ радиан находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57 < 3,14 < \pi \approx 3,1416$. Во II четверти тангенс отрицателен, следовательно $tg 3,14 < 0$. Сравнивая отрицательное число с нулем, получаем $tg 3,14 < 0 = tg \pi$. Ответ: $tg 3,14 < tg \pi$.

5) Сравним $ctg\frac{8\pi}{5}$ и $ctg\frac{7\pi}{5}$. Определим четверти для данных углов. Угол $\frac{7\pi}{5} = 1,4\pi$ находится в III четверти ($\pi < 1,4\pi < \frac{3\pi}{2}$), где котангенс положителен: $ctg\frac{7\pi}{5} > 0$. Угол $\frac{8\pi}{5} = 1,6\pi$ находится в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < 1,6\pi < 2\pi$), где котангенс отрицателен: $ctg\frac{8\pi}{5} < 0$. Отрицательное число всегда меньше положительного. Ответ: $ctg\frac{8\pi}{5} < ctg\frac{7\pi}{5}$.

6) Сравним $ctg\frac{\pi}{2}$ и $ctg 1,5$. Значение $ctg\frac{\pi}{2} = 0$. Угол $1,5$ радиан находится в I четверти, так как $0 < 1,5 < \frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. В I четверти котангенс положителен, то есть $ctg 1,5 > 0$. Сравнивая ноль с положительным числом, получаем $0 < ctg 1,5$. Ответ: $ctg\frac{\pi}{2} < ctg 1,5$.