Вопросы, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте основные свойства тригонометрических функций:

а) область определения;

б) четность;

в) периодичность;

г) точки пересечения с осями $Ox$ и $Oy$;

д) промежутки знакопостоянства;

е) промежутки убывания и возрастания;

ж) точки экстремума. Обоснуйте ответ.

2. Схематически постройте графики каждой из основных тригонометрических функций.

1. Основные свойства тригонометрических функций

Функция y = sin(x)

а) область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Обоснование: Для любого действительного числа $x$ (представляющего угол в радианах) можно найти точку на единичной окружности, и ее ордината (y-координата) будет равна $\sin(x)$.

б) четность: Функция нечетная, так как $\sin(-x) = -\sin(x)$ для любого $x \in R$.
Обоснование: Точкам на единичной окружности, соответствующим углам $x$ и $-x$, соответствуют ординаты, равные по модулю, но противоположные по знаку. График функции симметричен относительно начала координат.

в) периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. То есть $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$.
Обоснование: Поворот на $2\pi$ радиан (360°) возвращает точку на единичной окружности в ее исходное положение, поэтому значения синуса повторяются.

г) точки пересечения с осями Ox и Oy:
С осью Oy: при $x=0$, $y=\sin(0)=0$. Точка пересечения (0; 0).
С осью Ox: при $y=0$, $\sin(x)=0$, откуда $x=\pi k, k \in Z$. Точки пересечения $(\pi k; 0)$.

д) промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in Z$ (I и II координатные четверти).
$y < 0$ при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), k \in Z$ (III и IV координатные четверти).
Обоснование: Знак синуса определяется знаком ординаты точки на единичной окружности.

е) промежутки убывания и возрастания:
Возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in Z$.
Убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in Z$.
Обоснование: При движении точки по единичной окружности от угла $-\pi/2$ до $\pi/2$ ее ордината увеличивается от -1 до 1. При движении от $\pi/2$ до $3\pi/2$ ордината уменьшается от 1 до -1.

ж) точки экстремума:
Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$; значение в максимуме $y_{max}=1$.
Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$; значение в минимуме $y_{min}=-1$.
Обоснование: Максимальное значение ординаты на единичной окружности равно 1, а минимальное равно -1.

Также следует отметить, что область значений функции $E(y) = [-1; 1]$.
Ответ: Свойства функции $y = \sin(x)$ определяются ее поведением на единичной окружности: она определена для всех $x$, нечетна, периодична с периодом $2\pi$, имеет нули в точках $\pi k$, положительна в I и II четвертях, отрицательна в III и IV, возрастает на $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ и убывает на $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, достигая максимума 1 и минимума -1.

Функция y = cos(x)

а) область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Обоснование: Для любого действительного числа $x$ можно найти точку на единичной окружности, и ее абсцисса (x-координата) будет равна $\cos(x)$.

б) четность: Функция четная, так как $\cos(-x) = \cos(x)$ для любого $x \in R$.
Обоснование: Точкам на единичной окружности, соответствующим углам $x$ и $-x$, соответствуют одинаковые абсциссы. График функции симметричен относительно оси ординат.

в) периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. То есть $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.
Обоснование: Аналогично синусу, поворот на $2\pi$ возвращает точку в исходное положение.

г) точки пересечения с осями Ox и Oy:
С осью Oy: при $x=0$, $y=\cos(0)=1$. Точка пересечения (0; 1).
С осью Ox: при $y=0$, $\cos(x)=0$, откуда $x=\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$. Точки пересечения $(\frac{\pi}{2} + \pi k; 0)$.

д) промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$ (I и IV координатные четверти).
$y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$ (II и III координатные четверти).
Обоснование: Знак косинуса определяется знаком абсциссы точки на единичной окружности.

е) промежутки убывания и возрастания:
Возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k], k \in Z$.
Убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k], k \in Z$.
Обоснование: При движении точки по единичной окружности от 0 до $\pi$ ее абсцисса уменьшается от 1 до -1. При движении от $\pi$ до $2\pi$ абсцисса увеличивается от -1 до 1.

ж) точки экстремума:
Точки максимума: $x = 2\pi k, k \in Z$; значение в максимуме $y_{max}=1$.
Точки минимума: $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$; значение в минимуме $y_{min}=-1$.
Обоснование: Максимальное значение абсциссы на единичной окружности равно 1, а минимальное равно -1.

Область значений функции $E(y) = [-1; 1]$.
Ответ: Свойства функции $y = \cos(x)$ также определяются ее поведением на единичной окружности: она определена для всех $x$, четна, периодична с периодом $2\pi$, имеет нули в точках $\frac{\pi}{2} + \pi k$, положительна в I и IV четвертях, отрицательна во II и III, убывает на $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ и возрастает на $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$, достигая максимума 1 и минимума -1.

Функция y = tan(x)

а) область определения: Множество всех действительных чисел, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.
Обоснование: Функция определяется как $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, поэтому она не определена в точках, где знаменатель $\cos(x)$ равен нулю.

б) четность: Функция нечетная, так как $\tan(-x) = -\tan(x)$. График симметричен относительно начала координат.

в) периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. То есть $\tan(x + \pi) = \tan(x)$.
Обоснование: $\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \tan(x)$.

г) точки пересечения с осями Ox и Oy:
С осью Oy: при $x=0$, $y=\tan(0)=0$. Точка пересечения (0; 0).
С осью Ox: при $y=0$, $\tan(x)=0$, что эквивалентно $\sin(x)=0$, откуда $x=\pi k, k \in Z$. Точки пересечения $(\pi k; 0)$.

д) промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in Z$ (I и III четверти).
$y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k), k \in Z$ (II и IV четверти).
Обоснование: Знак тангенса положителен, когда знаки синуса и косинуса совпадают, и отрицателен, когда они различны.

е) промежутки убывания и возрастания:
Возрастает на всей области определения, то есть на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in Z$.
Обоснование: Производная функции $y' = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ всегда положительна в области определения.

ж) точки экстремума: Экстремумов нет.
Обоснование: Функция является строго возрастающей на каждом интервале определения и неограничена. Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

Ответ: Функция $y = \tan(x)$ не определена в точках $\frac{\pi}{2} + \pi k$, нечетна, периодична с периодом $\pi$, имеет нули в точках $\pi k$, возрастает на всей области определения. Экстремумов нет, область значений - все действительные числа. Имеет вертикальные асимптоты.

Функция y = cot(x)

а) область определения: Множество всех действительных чисел, кроме $x = \pi k, k \in Z$.
Обоснование: Функция определяется как $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, поэтому она не определена в точках, где знаменатель $\sin(x)$ равен нулю.

б) четность: Функция нечетная, так как $\cot(-x) = -\cot(x)$. График симметричен относительно начала координат.

в) периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. То есть $\cot(x + \pi) = \cot(x)$.
Обоснование: $\cot(x + \pi) = \frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)} = \frac{-\cos(x)}{-\sin(x)} = \cot(x)$.

г) точки пересечения с осями Ox и Oy:
С осью Oy: не пересекает, так как $x=0$ не входит в область определения.
С осью Ox: при $y=0$, $\cot(x)=0$, что эквивалентно $\cos(x)=0$, откуда $x=\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$. Точки пересечения $(\frac{\pi}{2} + \pi k; 0)$.

д) промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in Z$ (I и III четверти).
$y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k), k \in Z$ (II и IV четверти).
Обоснование: Знак котангенса, как и тангенса, положителен, когда знаки синуса и косинуса совпадают, и отрицателен, когда они различны.

е) промежутки убывания и возрастания:
Убывает на всей области определения, то есть на каждом из интервалов $(\pi k; \pi + \pi k), k \in Z$.
Обоснование: Производная функции $y' = (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ всегда отрицательна в области определения.

ж) точки экстремума: Экстремумов нет.
Обоснование: Функция является строго убывающей на каждом интервале определения и неограничена. Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi k, k \in Z$.

Ответ: Функция $y = \cot(x)$ не определена в точках $\pi k$, нечетна, периодична с периодом $\pi$, имеет нули в точках $\frac{\pi}{2} + \pi k$, убывает на всей области определения. Экстремумов нет, область значений - все действительные числа. Имеет вертикальные асимптоты.

2. Схематические графики основных тригонометрических функций

График функции y = sin(x) (синусоида)

График функции y = cos(x) (косинусоида)

График функции y = tan(x) (тангенсоида)

График функции y = cot(x) (котангенсоида)

Ответ: Схематические графики основных тригонометрических функций представлены выше. Они иллюстрируют ключевые свойства функций: периодичность, нули, экстремумы, асимптоты.