Номер 1.100, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.100. Заданы отображения $f : x \to 2x$ и $g : x \to x - 2$, где $x \in Z$. Какой формулой задаются отображения $f \cdot g$ и $g \cdot f$? Совпадают ли эти композиции отображений?

В задаче даны два отображения, действующие на множестве целых чисел $x \in \mathbb{Z}$:
1. $f: x \to 2x$, что можно записать в виде функции $f(x) = 2x$.
2. $g: x \to x - 2$, что можно записать в виде функции $g(x) = x - 2$.

Необходимо найти формулы для композиций этих отображений ($f \cdot g$ и $g \cdot f$) и определить, совпадают ли они.

Какой формулой задаются отображения $f \cdot g$ и $g \cdot f$?
Найдем формулу для композиции $f \cdot g$. Знак `·` в данном контексте обозначает операцию композиции функций, то есть $(f \cdot g)(x) = f(g(x))$. Это означает, что мы сначала применяем функцию $g$ к $x$, а затем к полученному результату применяем функцию $f$.
1. Находим значение $g(x)$: $g(x) = x - 2$.
2. Подставляем $g(x)$ в функцию $f$: $f(g(x)) = f(x - 2)$.
3. Применяем правило функции $f$ (умножение на 2) к аргументу $(x-2)$: $f(x - 2) = 2(x - 2) = 2x - 4$.
Таким образом, формула для отображения $f \cdot g$ имеет вид: $(f \cdot g)(x) = 2x - 4$.

Теперь найдем формулу для композиции $g \cdot f$. По определению, $(g \cdot f)(x) = g(f(x))$. Здесь мы сначала применяем функцию $f$, а затем $g$.
1. Находим значение $f(x)$: $f(x) = 2x$.
2. Подставляем $f(x)$ в функцию $g$: $g(f(x)) = g(2x)$.
3. Применяем правило функции $g$ (вычитание 2) к аргументу $(2x)$: $g(2x) = 2x - 2$.
Таким образом, формула для отображения $g \cdot f$ имеет вид: $(g \cdot f)(x) = 2x - 2$.
Ответ: Отображение $f \cdot g$ задается формулой $(f \cdot g)(x) = 2x - 4$. Отображение $g \cdot f$ задается формулой $(g \cdot f)(x) = 2x - 2$.

Совпадают ли эти композиции отображений?
Чтобы определить, совпадают ли композиции, нужно сравнить их формулы:
- Формула для $f \cdot g$: $y = 2x - 4$.
- Формула для $g \cdot f$: $y = 2x - 2$.
Приравняем правые части: $2x - 4 = 2x - 2$.
Вычтем $2x$ из обеих частей равенства: $-4 = -2$.
Полученное равенство является ложным. Это означает, что не существует такого $x$, при котором значения функций были бы равны. Следовательно, отображения $f \cdot g$ и $g \cdot f$ не совпадают.
Ответ: Нет, эти композиции отображений не совпадают, так как $(f \cdot g)(x) \neq (g \cdot f)(x)$ для всех $x \in \mathbb{Z}$.