Номер 1.94, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.94. Функция $y = f(x)$ задана табличным способом. Заполните таблицы для отображений $f(f^{-1}(x))$ и $f^{-1}(f(x))$. Сделайте вывод.

Исходная таблица:

$x$: 0, 1, 2, 3, 4

$f(x)$: 3, 4, 5, 6, 7

Для решения задачи сначала необходимо найти обратную функцию $f^{-1}(x)$. Исходная функция $y=f(x)$ задана следующей таблицей:

Обратная функция $f^{-1}(x)$ получается, если поменять местами область определения и область значений исходной функции. Иными словами, строки $x$ и $f(x)$ в таблице меняются местами. Таблица для $f^{-1}(x)$ будет выглядеть так:

Заполнение таблицы для отображения $f(f^{-1}(x))$

Для нахождения значений композиции $f(f^{-1}(x))$ необходимо для каждого $x$ из области определения функции $f^{-1}(x)$ (то есть для $x \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$) сначала вычислить $f^{-1}(x)$, а затем для полученного результата найти значение функции $f$.

При $x=3$: $f(f^{-1}(3)) = f(0) = 3$

При $x=4$: $f(f^{-1}(4)) = f(1) = 4$

При $x=5$: $f(f^{-1}(5)) = f(2) = 5$

При $x=6$: $f(f^{-1}(6)) = f(3) = 6$

При $x=7$: $f(f^{-1}(7)) = f(4) = 7$

Таким образом, таблица для отображения $f(f^{-1}(x))$ выглядит следующим образом:

Ответ: Таблица для отображения $f(f^{-1}(x))$ заполнена выше.

Заполнение таблицы для отображения $f^{-1}(f(x))$

Для нахождения значений композиции $f^{-1}(f(x))$ необходимо для каждого $x$ из области определения функции $f(x)$ (то есть для $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$) сначала вычислить $f(x)$, а затем для полученного результата найти значение функции $f^{-1}$.

При $x=0$: $f^{-1}(f(0)) = f^{-1}(3) = 0$

При $x=1$: $f^{-1}(f(1)) = f^{-1}(4) = 1$

При $x=2$: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(5) = 2$

При $x=3$: $f^{-1}(f(3)) = f^{-1}(6) = 3$

При $x=4$: $f^{-1}(f(4)) = f^{-1}(7) = 4$

Таким образом, таблица для отображения $f^{-1}(f(x))$ выглядит следующим образом:

Ответ: Таблица для отображения $f^{-1}(f(x))$ заполнена выше.

Вывод

Из полученных таблиц видно, что для любого значения $x$ из соответствующей области определения, значение композиции функции и её обратной равно самому $x$. То есть, $f(f^{-1}(x)) = x$ и $f^{-1}(f(x)) = x$. Это означает, что последовательное применение прямой и обратной функции является тождественным преобразованием (или тождественной функцией), которое возвращает исходное значение аргумента. Это фундаментальное свойство взаимно обратных функций.

Ответ: Композиция взаимно обратных функций $f$ и $f^{-1}$ является тождественной функцией на своей области определения, то есть $f(f^{-1}(x)) = x$ и $f^{-1}(f(x)) = x$.