Номер 1.99, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.99. Периметр прямоугольника равен 10 см, длина $x$ см, а площадь $S \text{ см}^2$. Найдите зависимость $S$ от $x$ и $x$ от $S$. Как эти зависимости связаны с понятием обратной функции? Найдите области определения прямой и обратной зависимостей.

Найдите зависимость S от x

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая — $y$ см. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. По условию задачи $P = 10$ см, следовательно, $10 = 2(x + y)$, откуда получаем полупериметр $x + y = 5$. Выразим вторую сторону $y$ через $x$: $y = 5 - x$.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = x \cdot y$. Подставив выражение для $y$, получим искомую зависимость площади $S$ от длины стороны $x$:

$S(x) = x(5 - x) = 5x - x^2$.

Ответ: $S(x) = 5x - x^2$.

Найдите зависимость x от S

Для нахождения зависимости $x$ от $S$, необходимо решить уравнение $S = 5x - x^2$ относительно переменной $x$. Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + S = 0$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, которая имеет вид $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=-5$, $c=S$.

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot S}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4S}}{2}$.

Мы получили два возможных выражения для $x$. Эти два решения соответствуют двум смежным сторонам прямоугольника ($x$ и $y$), так как их сумма равна $x_1 + x_2 = \frac{5 + \sqrt{25 - 4S}}{2} + \frac{5 - \sqrt{25 - 4S}}{2} = \frac{10}{2} = 5$, что соответствует условию полупериметра.

Ответ: $x(S) = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4S}}{2}$.

Как эти зависимости связаны с понятием обратной функции?

Зависимость $x(S)$ является обратной к зависимости $S(x)$. По определению, функция $y=f(x)$ имеет обратную функцию $x=f^{-1}(y)$ только в том случае, если она взаимно-однозначна (то есть каждому значению $y$ соответствует ровно одно значение $x$).

Функция $S(x) = 5x - x^2$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. На всей своей области определения (которую мы найдем в следующем пункте) эта функция не является взаимно-однозначной. Например, при $x=1$ площадь $S = 5(1)-1^2=4$, и при $x=4$ площадь $S = 5(4)-4^2=4$. Таким образом, одному значению площади $S=4$ см² соответствуют два разных прямоугольника: $1 \times 4$ см и $4 \times 1$ см.

Чтобы зависимость $x(S)$ была функцией в строгом смысле, необходимо ограничить область определения исходной функции $S(x)$ таким интервалом, на котором она монотонна. Вершина параболы $S(x)$ находится в точке $x = -\frac{5}{2(-1)} = 2.5$.

1. Если рассмотреть функцию $S(x)$ на интервале $(0, 2.5]$, где она строго возрастает, то обратная к ней функция будет однозначно определена как $x(S) = \frac{5 - \sqrt{25 - 4S}}{2}$.

2. Если рассмотреть $S(x)$ на интервале $[2.5, 5)$, где она строго убывает, то обратная функция будет $x(S) = \frac{5 + \sqrt{25 - 4S}}{2}$.

Ответ: Зависимость $x(S)$ является обратной по отношению к $S(x)$. Так как $S(x)$ не является монотонной, то для одного значения $S$ (кроме максимального) существует два значения $x$. Поэтому для получения однозначной обратной функции необходимо ограничить область определения $S(x)$ интервалом ее монотонности.

Найдите области определения прямой и обратной зависимостей

Область определения прямой зависимости $S(x)$ находится из физического смысла задачи. Длины сторон прямоугольника, $x$ и $y=5-x$, должны быть положительными числами:

$x > 0$

$5 - x > 0 \implies x < 5$

Объединяя эти два условия, получаем область определения для $x$: $x \in (0, 5)$.

Область определения обратной зависимости $x(S)$ есть область значений прямой зависимости $S(x)$ на интервале $x \in (0, 5)$. Так как $S(x) = -x^2+5x$ — это парабола с ветвями вниз, ее максимальное значение достигается в вершине при $x = 2.5$:

$S_{max} = S(2.5) = 5(2.5) - (2.5)^2 = 12.5 - 6.25 = 6.25$.

Минимальные значения площади стремятся к нулю, когда $x$ стремится к $0$ или к $5$. Таким образом, площадь $S$ может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 6.25]$. Это и есть область определения для $S$. Проверим это, исходя из выражения для $x(S)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $25 - 4S \ge 0 \implies 4S \le 25 \implies S \le 6.25$. Поскольку площадь не может быть нулевой или отрицательной, $S > 0$.

Ответ: Область определения прямой зависимости $S(x)$: $D(S) = (0, 5)$. Область определения обратной зависимости $x(S)$: $D(x) = (0, 6.25]$.