Номер 1.91, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.91. Задана функция $f: x \to x^2$, $x \in (-\infty; +\infty)$. Определите обратное ей соответствие. Является ли обратное соответствие функцией?

Задана функция $f(x) = x^2$ с областью определения $x \in (-\infty; +\infty)$.

Определите обратное ей соответствие.

Чтобы найти обратное соответствие для функции $y = x^2$, необходимо выразить переменную $x$ через $y$.

Из уравнения $y = x^2$ следует, что $x = \pm\sqrt{y}$.

Областью определения исходной функции $y = x^2$ является множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Областью значений является множество всех неотрицательных чисел $E(y) = [0; +\infty)$.

Для обратного соответствия область определения совпадает с областью значений исходной функции, а область значений — с областью определения исходной функции. Таким образом, для обратного соответствия $x = \pm\sqrt{y}$ областью определения является $y \in [0; +\infty)$.

Если поменять переменные $x$ и $y$ местами (что является стандартным приемом при нахождении обратной функции), то обратное соответствие будет задано как $y = \pm\sqrt{x}$ с областью определения $x \in [0; +\infty)$.

Является ли обратное соответствие функцией?

Согласно определению, функция — это такое соответствие, при котором каждому значению независимой переменной (аргумента) из области определения соответствует одно и только одно значение зависимой переменной (функции).

Рассмотрим полученное обратное соответствие $y = \pm\sqrt{x}$. Возьмем любое положительное значение из его области определения, например, $x=9$. Подставив его в формулу, мы получим два значения $y$: $y_1 = \sqrt{9} = 3$ и $y_2 = -\sqrt{9} = -3$.

Поскольку одному значению аргумента $x=9$ соответствуют два разных значения $y$, условие единственности не выполняется. Следовательно, данное обратное соответствие не является функцией.

Это происходит потому, что исходная функция $f(x)=x^2$ не является взаимно однозначной (инъективной) на своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Например, $f(2) = 4$ и $f(-2) = 4$.

Ответ: Обратное соответствие задается выражением $y = \pm\sqrt{x}$ с областью определения $x \in [0; +\infty)$. Это соответствие не является функцией, так как каждому положительному значению $x$ соответствуют два различных значения $y$.