Номер 2.2, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.2. Определите знак выражения:

1) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin \frac{19\pi}{20};$

2) $\sin \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2};$

3) $\cos \frac{13\pi}{8} - \cos (-2,25\pi);$

4) $\sin 139^\circ + \cos 50^\circ;$

5) $\operatorname{tg} 1,25 - 1;$

6) $\sqrt{3} - \operatorname{ctg} \frac{13\pi}{20}.$

1) Для определения знака выражения $ \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\frac{19\pi}{20} $ представим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ в виде синуса угла. Мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, выражение принимает вид $ \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{19\pi}{20} $. Теперь сравним углы. Угол $ \frac{19\pi}{20} $ находится во второй координатной четверти, так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{19\pi}{20} < \pi $. Используя формулу приведения, получим $ \sin\frac{19\pi}{20} = \sin(\pi - \frac{\pi}{20}) = \sin\frac{\pi}{20} $. Выражение преобразуется к виду $ \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{20} $. Функция $ y = \sin x $ является возрастающей на отрезке $ [0; \frac{\pi}{2}] $. Углы $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{\pi}{20} $ принадлежат этому отрезку. Поскольку $ \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{20} $, то и значение синуса для большего угла будет больше: $ \sin\frac{\pi}{4} > \sin\frac{\pi}{20} $. Следовательно, разность $ \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{20} $ положительна.
Ответ: знак плюс (положительный).

2) Рассмотрим выражение $ \sin\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} $. Найдем значение $ \sin\frac{2\pi}{3} $. Угол $ \frac{2\pi}{3} $ находится во второй четверти. По формуле приведения $ \sin\frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} $. Табличное значение $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставим это значение в исходное выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 $. Выражение равно нулю, то есть оно не имеет знака (не является ни положительным, ни отрицательным).
Ответ: выражение равно 0.

3) Для определения знака выражения $ \cos\frac{13\pi}{8} - \cos(-2,25\pi) $ упростим каждый из косинусов. Для второго члена используем четность косинуса ($ \cos(-x) = \cos x $) и его периодичность (период $ 2\pi $): $ \cos(-2,25\pi) = \cos(2,25\pi) = \cos(2\pi + 0,25\pi) = \cos(0,25\pi) = \cos\frac{\pi}{4} $. Для первого члена также используем периодичность: $ \cos\frac{13\pi}{8} = \cos(\frac{16\pi-3\pi}{8}) = \cos(2\pi - \frac{3\pi}{8}) = \cos(-\frac{3\pi}{8}) = \cos\frac{3\pi}{8} $. Выражение принимает вид $ \cos\frac{3\pi}{8} - \cos\frac{\pi}{4} $. Функция $ y = \cos x $ является убывающей на отрезке $ [0; \pi] $. Оба угла, $ \frac{3\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{4} $, принадлежат этому отрезку. Сравним углы: $ \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{8} $. Так как $ \frac{3\pi}{8} > \frac{2\pi}{8} $, то для убывающей функции косинуса выполняется обратное неравенство: $ \cos\frac{3\pi}{8} < \cos\frac{2\pi}{8} $, то есть $ \cos\frac{3\pi}{8} < \cos\frac{\pi}{4} $. Следовательно, разность $ \cos\frac{3\pi}{8} - \cos\frac{\pi}{4} $ отрицательна.
Ответ: знак минус (отрицательный).

4) Рассмотрим выражение $ \sin 139^\circ + \cos 50^\circ $. Определим знаки каждого из слагаемых. Угол $ 139^\circ $ находится во второй координатной четверти ($ 90^\circ < 139^\circ < 180^\circ $), где синус положителен. Значит, $ \sin 139^\circ > 0 $. Угол $ 50^\circ $ находится в первой координатной четверти ($ 0^\circ < 50^\circ < 90^\circ $), где косинус положителен. Значит, $ \cos 50^\circ > 0 $. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, $ \sin 139^\circ + \cos 50^\circ > 0 $.
Ответ: знак плюс (положительный).

5) В выражении $ \tg 1,25 - 1 $ аргумент тангенса задан в радианах. Сравним $ \tg 1,25 $ с $ 1 $. Мы знаем, что $ \tg\frac{\pi}{4} = 1 $. Выражение можно переписать как $ \tg 1,25 - \tg\frac{\pi}{4} $. Оценим значение $ \frac{\pi}{4} $. Используя $ \pi \approx 3,1416 $, получаем $ \frac{\pi}{4} \approx 0,7854 $. Функция $ y = \tg x $ является возрастающей на интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. $ \frac{\pi}{2} \approx 1,5708 $. Оба угла, $ 1,25 $ и $ \frac{\pi}{4} $, принадлежат интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $. Так как $ 1,25 > 0,7854 $, то есть $ 1,25 > \frac{\pi}{4} $, то в силу возрастания тангенса на этом интервале $ \tg 1,25 > \tg\frac{\pi}{4} $. Следовательно, разность $ \tg 1,25 - 1 $ положительна.
Ответ: знак плюс (положительный).

6) Рассмотрим выражение $ \sqrt{3} - \ctg\frac{13\pi}{20} $. Определим знак второго члена, $ \ctg\frac{13\pi}{20} $. Сравним угол $ \frac{13\pi}{20} $ с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} = \frac{10\pi}{20} $ и $ \pi = \frac{20\pi}{20} $. Поскольку $ \frac{10\pi}{20} < \frac{13\pi}{20} < \frac{20\pi}{20} $, угол $ \frac{13\pi}{20} $ находится во второй координатной четверти. Котангенс во второй четверти отрицателен, т.е. $ \ctg\frac{13\pi}{20} < 0 $. Исходное выражение представляет собой разность положительного числа $ \sqrt{3} $ и отрицательного числа $ \ctg\frac{13\pi}{20} $. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного: $ \sqrt{3} - (\text{отрицательное число}) = \sqrt{3} + (\text{положительное число}) $. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Следовательно, выражение $ \sqrt{3} - \ctg\frac{13\pi}{20} $ имеет положительный знак.
Ответ: знак плюс (положительный).