Номер 2.5, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.5. Является ли число $3\pi$ периодом функции: 1) $y = \sin 2x$; 2) $y = \operatorname{tg} x$; 3) $y = \cos 4x$?

Является ли оно наименьшим положительным периодом этих функций? Найдите наименьший положительный период указанных функций.

1) $y = \sin 2x$

Чтобы определить, является ли число $T$ периодом функции $f(x)$, необходимо проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$ для любого $x$ из области определения функции. В данном случае $f(x) = \sin 2x$ и $T = 3\pi$.

Проверим: $f(x+3\pi) = \sin(2(x+3\pi)) = \sin(2x + 6\pi)$.

Поскольку функция синус имеет период $2\pi$, то $\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin(\alpha)$ для любого целого числа $k$. В нашем случае $\alpha = 2x$ и $k=3$, поэтому $\sin(2x + 6\pi) = \sin(2x)$.

Так как $f(x+3\pi) = f(x)$, число $3\pi$ является периодом функции $y = \sin 2x$.

Теперь найдем наименьший положительный период $T_0$ функции. Для функции вида $y = \sin(kx)$ наименьший положительный период находится по формуле $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $y = \sin 2x$ коэффициент $k=2$, следовательно, наименьший положительный период: $T_0 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Так как $\pi < 3\pi$, число $3\pi$ не является наименьшим положительным периодом.

Ответ: Да, число $3\pi$ является периодом функции. Нет, оно не является наименьшим положительным периодом. Наименьший положительный период равен $\pi$.

2) $y = \tan x$

Проверим, является ли $T = 3\pi$ периодом функции $f(x) = \tan x$, используя равенство $f(x+T) = f(x)$.

$f(x+3\pi) = \tan(x+3\pi)$.

Основной период функции тангенс равен $\pi$, поэтому $\tan(\alpha + k\pi) = \tan(\alpha)$ для любого целого числа $k$. В данном случае $\alpha = x$ и $k=3$.

Следовательно, $\tan(x+3\pi) = \tan(x) = f(x)$, что означает, что $3\pi$ является периодом функции $y = \tan x$.

Наименьший положительный период для функции вида $y = \tan(kx)$ находится по формуле $T_0 = \frac{\pi}{|k|}$. Для функции $y = \tan x$ имеем $k=1$.

$T_0 = \frac{\pi}{1} = \pi$.

Так как $3\pi \neq \pi$, число $3\pi$ не является наименьшим положительным периодом.

Ответ: Да, число $3\pi$ является периодом функции. Нет, оно не является наименьшим положительным периодом. Наименьший положительный период равен $\pi$.

3) $y = \cos 4x$

Проверим, является ли $T = 3\pi$ периодом функции $f(x) = \cos 4x$.

$f(x+3\pi) = \cos(4(x+3\pi)) = \cos(4x + 12\pi)$.

Основной период функции косинус равен $2\pi$, поэтому $\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos(\alpha)$ для любого целого числа $k$. В данном случае $\alpha = 4x$ и $k=6$, так как $12\pi = 6 \cdot 2\pi$.

Следовательно, $\cos(4x+12\pi) = \cos(4x) = f(x)$, что доказывает, что $3\pi$ является периодом функции $y = \cos 4x$.

Наименьший положительный период для функции вида $y = \cos(kx)$ находится по формуле $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $y = \cos 4x$ имеем $k=4$.

$T_0 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Так как $\frac{\pi}{2} < 3\pi$, число $3\pi$ не является наименьшим положительным периодом.

Ответ: Да, число $3\pi$ является периодом функции. Нет, оно не является наименьшим положительным периодом. Наименьший положительный период равен $\frac{\pi}{2}$.