Номер 2.11, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.11. Укажите части промежутка (0;1), в которых функция $y = \cos \frac{(2x-1)\pi}{4}$ принимает положительные и отрицательные значения. Имеет ли функция нули на этом промежутке?

Для анализа функции $y = \cos\frac{(2x-1)\pi}{4}$ на промежутке $x \in (0; 1)$, в первую очередь определим, в каких пределах изменяется ее аргумент, который мы обозначим как $t = \frac{(2x-1)\pi}{4}$.

Найдем область значений $t$, когда $x$ изменяется в интервале $(0; 1)$.
Если $x \to 0$ (справа), то $t \to \frac{(2 \cdot 0 - 1)\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.
Если $x \to 1$ (слева), то $t \to \frac{(2 \cdot 1 - 1)\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
Поскольку зависимость $t$ от $x$ является линейной и возрастающей, при $x \in (0; 1)$ аргумент $t$ будет находиться в интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Укажите части промежутка (0;1), в которых функция принимает положительные и отрицательные значения

Теперь проанализируем знак функции $y = \cos(t)$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$. Этот интервал соответствует углам в IV и I координатных четвертях. Как известно, функция косинус положительна на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Поскольку наш интервал для $t$, а именно $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$, является подмножеством интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то на нем функция $\cos(t)$ строго положительна. Следовательно, для всех $x \in (0; 1)$ функция $y = \cos\frac{(2x-1)\pi}{4}$ принимает только положительные значения. Частей, где функция принимает отрицательные значения, на данном промежутке нет.

Ответ: функция принимает положительные значения на всем промежутке $(0; 1)$; частей, где функция принимает отрицательные значения, на этом промежутке нет.

Имеет ли функция нули на этом промежутке?

Нули функции — это значения $x$, при которых $y(x) = 0$. Для этого необходимо решить уравнение: $\cos\frac{(2x-1)\pi}{4} = 0$ Уравнение $\cos(t) = 0$ имеет решения вида $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Подставим выражение для $t$ и решим уравнение относительно $x$: $\frac{(2x-1)\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$ Разделим обе части уравнения на $\pi$: $\frac{2x-1}{4} = \frac{1}{2} + k$ Умножим обе части на 4: $2x-1 = 2 + 4k$ $2x = 3 + 4k$ $x = \frac{3+4k}{2}$ Теперь проверим, существуют ли такие целые $k$, при которых значение $x$ попадает в заданный интервал $(0; 1)$: $0 < \frac{3+4k}{2} < 1$ Умножим все части двойного неравенства на 2: $0 < 3+4k < 2$ Вычтем 3 из всех частей: $-3 < 4k < -1$ Разделим все части на 4: $-\frac{3}{4} < k < -\frac{1}{4}$ В полученном интервале $(-\frac{3}{4}; -\frac{1}{4})$ нет целых чисел. Это означает, что на промежутке $(0; 1)$ нет значений $x$, при которых функция обращается в ноль. Данный вывод также следует из того, что функция на этом промежутке строго положительна.

Ответ: нет, функция не имеет нулей на промежутке $(0; 1)$.