Номер 2.17, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. Пусть функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$, определенные на всей числовой прямой, периодические. Периоды этих функций равны $T_1$ и $T_2$ соответственно. Докажите, что если отношение $T_1 : T_2$ является рациональным числом, то сумма $f_1(x) + f_2(x)$ – периодическая функция, а если отношение $T_1 : T_2$ является иррациональным числом, то сумма $f_1(x) + f_2(x)$ – непериодическая функция.

Задача состоит из двух частей. Докажем каждое утверждение отдельно.

Доказательство того, что если отношение $T_1 : T_2$ является рациональным числом, то сумма $f_1(x) + f_2(x)$ – периодическая функция

Пусть функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ имеют периоды $T_1 > 0$ и $T_2 > 0$ соответственно. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняются равенства:
$f_1(x + T_1) = f_1(x)$
$f_2(x + T_2) = f_2(x)$

Рассмотрим сумму этих функций $F(x) = f_1(x) + f_2(x)$. Нам нужно доказать, что существует такое число $T \neq 0$, что $F(x+T) = F(x)$ для всех $x$.

По условию, отношение периодов $T_1 / T_2$ является рациональным числом. Это значит, что его можно представить в виде дроби двух целых чисел:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа (поскольку периоды положительны).

Из этого соотношения мы можем выразить связь между периодами:
$q \cdot T_1 = p \cdot T_2$

Обозначим это общее значение как $T$. То есть, $T = qT_1 = pT_2$. Поскольку $q, p, T_1, T_2$ — положительные числа, то и $T$ является положительным числом. Теперь проверим, является ли это число $T$ периодом для функции $F(x)$:
$F(x+T) = f_1(x+T) + f_2(x+T)$

Подставим в это выражение значение $T$:
$F(x+T) = f_1(x+qT_1) + f_2(x+pT_2)$

Так как $T_1$ является периодом для $f_1(x)$, то добавление этого периода $q$ раз не изменит значения функции:
$f_1(x+qT_1) = f_1(x)$

Аналогично, так как $T_2$ является периодом для $f_2(x)$, то:
$f_2(x+pT_2) = f_2(x)$

Подставляя эти результаты обратно в выражение для $F(x+T)$, получаем:
$F(x+T) = f_1(x) + f_2(x) = F(x)$

Мы нашли такое число $T = qT_1 = pT_2 \neq 0$, что $F(x+T) = F(x)$ для всех $x$. Это по определению означает, что функция $F(x) = f_1(x) + f_2(x)$ является периодической. Ее период $T$ является общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$.

Ответ: Доказано, что если отношение периодов функций является рациональным числом, то их сумма является периодической функцией.

Доказательство того, что если отношение $T_1 : T_2$ является иррациональным числом, то сумма $f_1(x) + f_2(x)$ – непериодическая функция

Это утверждение требует некоторых дополнительных предположений, которые обычно подразумеваются в таких задачах: $T_1$ и $T_2$ являются наименьшими положительными (фундаментальными) периодами, а функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ являются непрерывными и не являются тривиальными (например, $f_2(x) = -f_1(x)$, что дало бы в сумме 0, или одна из функций — константа).

Будем доказывать от противного. Предположим, что сумма $F(x) = f_1(x) + f_2(x)$ является периодической функцией с некоторым периодом $T > 0$. Тогда по определению периода:
$F(x+T) = F(x)$ для всех $x$.
$f_1(x+T) + f_2(x+T) = f_1(x) + f_2(x)$

Перегруппируем члены уравнения:
$f_1(x+T) - f_1(x) = -[f_2(x+T) - f_2(x)]$

Обозначим левую часть как $g(x) = f_1(x+T) - f_1(x)$. Проверим периодичность функции $g(x)$.
$g(x+T_1) = f_1((x+T_1)+T) - f_1(x+T_1) = f_1(x+T) - f_1(x) = g(x)$
Следовательно, $g(x)$ имеет период $T_1$.

Так как $g(x) = -[f_2(x+T) - f_2(x)]$, то аналогично можно показать, что $g(x)$ имеет и период $T_2$:
$g(x+T_2) = -[f_2((x+T_2)+T) - f_2(x+T_2)] = -[f_2(x+T) - f_2(x)] = g(x)$

Итак, мы получили, что функция $g(x)$ имеет два периода: $T_1$ и $T_2$. По условию, их отношение $T_1/T_2$ иррационально. Существует теорема, которая гласит, что если непрерывная функция имеет два периода, отношение которых иррационально, то эта функция является константой. Это связано с тем, что множество чисел вида $nT_1 + mT_2$ (где $n,m$ — целые) плотно на числовой прямой, и непрерывная функция, постоянная на плотном множестве, постоянна всюду.

Следовательно, $g(x) = C$ для некоторой константы $C$.
$f_1(x+T) - f_1(x) = C$

Рассмотрим, чему может быть равна эта константа. Из этого равенства следует, что $f_1(x+nT) - f_1(x) = nC$ для любого целого $n$. Поскольку $f_1(x)$ — периодическая функция, она ограничена, то есть существует такое $M > 0$, что $|f_1(x)| \le M$ для всех $x$. Тогда $|f_1(x+nT) - f_1(x)| \le |f_1(x+nT)| + |f_1(x)| \le 2M$. Получаем неравенство $|nC| \le 2M$, которое должно выполняться для всех целых $n$. Это возможно только в одном случае: если $C=0$.

Если $C=0$, то и $g(x)=0$. Это означает, что:
$f_1(x+T) - f_1(x) = 0 \implies f_1(x+T) = f_1(x)$
$-[f_2(x+T) - f_2(x)] = 0 \implies f_2(x+T) = f_2(x)$

Это значит, что $T$ является общим периодом для обеих функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$. Если $T_1$ и $T_2$ — фундаментальные периоды, то любой другой период должен быть им кратен. То есть, должны существовать такие целые числа $n_1$ и $n_2$, что:
$T = n_1 T_1$
$T = n_2 T_2$

Отсюда следует, что $n_1 T_1 = n_2 T_2$, и, следовательно, $\frac{T_1}{T_2} = \frac{n_2}{n_1}$. Это означает, что отношение $T_1/T_2$ является рациональным числом. Но это прямо противоречит исходному условию, что отношение иррационально.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что функция $F(x)$ является периодической, было неверным.

Ответ: Доказано, что если отношение фундаментальных периодов непрерывных функций иррационально, то их сумма является непериодической функцией.