Номер 2.19, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.19. Покажите, что выражение $ \left(\sqrt{\sqrt{45} + 2\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{45} - 2\sqrt{5}}\right)^2 - 6\sqrt{5} $ является рациональным числом.

Чтобы доказать, что данное выражение является рациональным числом, мы его упростим. Обозначим исходное выражение как $E$:

$E = \left(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}}\right)^2 - 6\sqrt{5}$

Сначала раскроем квадрат суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае:

$a = \sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}}$

$b = \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}}$

Тогда квадраты этих слагаемых равны:

$a^2 = \left(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}}\right)^2 = \sqrt{45}+2\sqrt{5}$

$b^2 = \left(\sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}}\right)^2 = \sqrt{45}-2\sqrt{5}$

Теперь вычислим удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}} = 2\sqrt{(\sqrt{45}+2\sqrt{5})(\sqrt{45}-2\sqrt{5})}$

Выражение под внутренним корнем преобразуем по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:

$(\sqrt{45})^2 - (2\sqrt{5})^2 = 45 - (2^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 45 - (4 \cdot 5) = 45 - 20 = 25$

Значит, $2ab = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.

Теперь сложим все три части, чтобы найти значение квадрата суммы:

$a^2 + b^2 + 2ab = (\sqrt{45}+2\sqrt{5}) + (\sqrt{45}-2\sqrt{5}) + 10$

Упростим, сократив $2\sqrt{5}$ и $-2\sqrt{5}$:

$\sqrt{45} + \sqrt{45} + 10 = 2\sqrt{45} + 10$

Упростим $\sqrt{45}$, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Тогда $2\sqrt{45} + 10 = 2(3\sqrt{5}) + 10 = 6\sqrt{5} + 10$.

Мы нашли значение выражения в скобках, возведенного в квадрат. Теперь подставим его в исходное выражение $E$:

$E = (6\sqrt{5} + 10) - 6\sqrt{5}$

После вычитания $6\sqrt{5}$ получаем:

$E = 10$

Результатом вычислений является число 10. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби (например, $10 = \frac{10}{1}$). Следовательно, исходное выражение является рациональным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 10.