Страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте основные свойства тригонометрических функций:

а) область определения;

б) четность;

в) периодичность;

г) точки пересечения с осями $Ox$ и $Oy$;

д) промежутки знакопостоянства;

е) промежутки убывания и возрастания;

ж) точки экстремума. Обоснуйте ответ.

2. Схематически постройте графики каждой из основных тригонометрических функций.

1. Основные свойства тригонометрических функций

Функция y = sin(x)

а) область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Обоснование: Для любого действительного числа $x$ (представляющего угол в радианах) можно найти точку на единичной окружности, и ее ордината (y-координата) будет равна $\sin(x)$.

б) четность: Функция нечетная, так как $\sin(-x) = -\sin(x)$ для любого $x \in R$.
Обоснование: Точкам на единичной окружности, соответствующим углам $x$ и $-x$, соответствуют ординаты, равные по модулю, но противоположные по знаку. График функции симметричен относительно начала координат.

в) периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. То есть $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$.
Обоснование: Поворот на $2\pi$ радиан (360°) возвращает точку на единичной окружности в ее исходное положение, поэтому значения синуса повторяются.

г) точки пересечения с осями Ox и Oy:
С осью Oy: при $x=0$, $y=\sin(0)=0$. Точка пересечения (0; 0).
С осью Ox: при $y=0$, $\sin(x)=0$, откуда $x=\pi k, k \in Z$. Точки пересечения $(\pi k; 0)$.

д) промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in Z$ (I и II координатные четверти).
$y < 0$ при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), k \in Z$ (III и IV координатные четверти).
Обоснование: Знак синуса определяется знаком ординаты точки на единичной окружности.

е) промежутки убывания и возрастания:
Возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in Z$.
Убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in Z$.
Обоснование: При движении точки по единичной окружности от угла $-\pi/2$ до $\pi/2$ ее ордината увеличивается от -1 до 1. При движении от $\pi/2$ до $3\pi/2$ ордината уменьшается от 1 до -1.

ж) точки экстремума:
Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$; значение в максимуме $y_{max}=1$.
Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$; значение в минимуме $y_{min}=-1$.
Обоснование: Максимальное значение ординаты на единичной окружности равно 1, а минимальное равно -1.

Также следует отметить, что область значений функции $E(y) = [-1; 1]$.
Ответ: Свойства функции $y = \sin(x)$ определяются ее поведением на единичной окружности: она определена для всех $x$, нечетна, периодична с периодом $2\pi$, имеет нули в точках $\pi k$, положительна в I и II четвертях, отрицательна в III и IV, возрастает на $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ и убывает на $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, достигая максимума 1 и минимума -1.

Функция y = cos(x)

а) область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Обоснование: Для любого действительного числа $x$ можно найти точку на единичной окружности, и ее абсцисса (x-координата) будет равна $\cos(x)$.

б) четность: Функция четная, так как $\cos(-x) = \cos(x)$ для любого $x \in R$.
Обоснование: Точкам на единичной окружности, соответствующим углам $x$ и $-x$, соответствуют одинаковые абсциссы. График функции симметричен относительно оси ординат.

в) периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. То есть $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.
Обоснование: Аналогично синусу, поворот на $2\pi$ возвращает точку в исходное положение.

г) точки пересечения с осями Ox и Oy:
С осью Oy: при $x=0$, $y=\cos(0)=1$. Точка пересечения (0; 1).
С осью Ox: при $y=0$, $\cos(x)=0$, откуда $x=\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$. Точки пересечения $(\frac{\pi}{2} + \pi k; 0)$.

д) промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$ (I и IV координатные четверти).
$y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$ (II и III координатные четверти).
Обоснование: Знак косинуса определяется знаком абсциссы точки на единичной окружности.

е) промежутки убывания и возрастания:
Возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k], k \in Z$.
Убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k], k \in Z$.
Обоснование: При движении точки по единичной окружности от 0 до $\pi$ ее абсцисса уменьшается от 1 до -1. При движении от $\pi$ до $2\pi$ абсцисса увеличивается от -1 до 1.

ж) точки экстремума:
Точки максимума: $x = 2\pi k, k \in Z$; значение в максимуме $y_{max}=1$.
Точки минимума: $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$; значение в минимуме $y_{min}=-1$.
Обоснование: Максимальное значение абсциссы на единичной окружности равно 1, а минимальное равно -1.

Область значений функции $E(y) = [-1; 1]$.
Ответ: Свойства функции $y = \cos(x)$ также определяются ее поведением на единичной окружности: она определена для всех $x$, четна, периодична с периодом $2\pi$, имеет нули в точках $\frac{\pi}{2} + \pi k$, положительна в I и IV четвертях, отрицательна во II и III, убывает на $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ и возрастает на $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$, достигая максимума 1 и минимума -1.

Функция y = tan(x)

а) область определения: Множество всех действительных чисел, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.
Обоснование: Функция определяется как $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, поэтому она не определена в точках, где знаменатель $\cos(x)$ равен нулю.

б) четность: Функция нечетная, так как $\tan(-x) = -\tan(x)$. График симметричен относительно начала координат.

в) периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. То есть $\tan(x + \pi) = \tan(x)$.
Обоснование: $\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \tan(x)$.

г) точки пересечения с осями Ox и Oy:
С осью Oy: при $x=0$, $y=\tan(0)=0$. Точка пересечения (0; 0).
С осью Ox: при $y=0$, $\tan(x)=0$, что эквивалентно $\sin(x)=0$, откуда $x=\pi k, k \in Z$. Точки пересечения $(\pi k; 0)$.

д) промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in Z$ (I и III четверти).
$y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k), k \in Z$ (II и IV четверти).
Обоснование: Знак тангенса положителен, когда знаки синуса и косинуса совпадают, и отрицателен, когда они различны.

е) промежутки убывания и возрастания:
Возрастает на всей области определения, то есть на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in Z$.
Обоснование: Производная функции $y' = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ всегда положительна в области определения.

ж) точки экстремума: Экстремумов нет.
Обоснование: Функция является строго возрастающей на каждом интервале определения и неограничена. Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

Ответ: Функция $y = \tan(x)$ не определена в точках $\frac{\pi}{2} + \pi k$, нечетна, периодична с периодом $\pi$, имеет нули в точках $\pi k$, возрастает на всей области определения. Экстремумов нет, область значений - все действительные числа. Имеет вертикальные асимптоты.

Функция y = cot(x)

а) область определения: Множество всех действительных чисел, кроме $x = \pi k, k \in Z$.
Обоснование: Функция определяется как $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, поэтому она не определена в точках, где знаменатель $\sin(x)$ равен нулю.

б) четность: Функция нечетная, так как $\cot(-x) = -\cot(x)$. График симметричен относительно начала координат.

в) периодичность: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. То есть $\cot(x + \pi) = \cot(x)$.
Обоснование: $\cot(x + \pi) = \frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)} = \frac{-\cos(x)}{-\sin(x)} = \cot(x)$.

г) точки пересечения с осями Ox и Oy:
С осью Oy: не пересекает, так как $x=0$ не входит в область определения.
С осью Ox: при $y=0$, $\cot(x)=0$, что эквивалентно $\cos(x)=0$, откуда $x=\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$. Точки пересечения $(\frac{\pi}{2} + \pi k; 0)$.

д) промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in Z$ (I и III четверти).
$y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k), k \in Z$ (II и IV четверти).
Обоснование: Знак котангенса, как и тангенса, положителен, когда знаки синуса и косинуса совпадают, и отрицателен, когда они различны.

е) промежутки убывания и возрастания:
Убывает на всей области определения, то есть на каждом из интервалов $(\pi k; \pi + \pi k), k \in Z$.
Обоснование: Производная функции $y' = (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ всегда отрицательна в области определения.

ж) точки экстремума: Экстремумов нет.
Обоснование: Функция является строго убывающей на каждом интервале определения и неограничена. Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi k, k \in Z$.

Ответ: Функция $y = \cot(x)$ не определена в точках $\pi k$, нечетна, периодична с периодом $\pi$, имеет нули в точках $\frac{\pi}{2} + \pi k$, убывает на всей области определения. Экстремумов нет, область значений - все действительные числа. Имеет вертикальные асимптоты.

2. Схематические графики основных тригонометрических функций

График функции y = sin(x) (синусоида)

График функции y = cos(x) (косинусоида)

График функции y = tan(x) (тангенсоида)

График функции y = cot(x) (котангенсоида)

Ответ: Схематические графики основных тригонометрических функций представлены выше. Они иллюстрируют ключевые свойства функций: периодичность, нули, экстремумы, асимптоты.

2.1. В какой координатной четверти находится угол φ, если:

1) $\vert\sin \varphi\vert = \sin \varphi$;

2) $\vert\sin \varphi\vert = \sin(-\varphi)$;

3) $\vert\cos \varphi\vert = -\cos \varphi$;

4) $\vert\cos(-\varphi)\vert = \cos \varphi$;

5) $\vert\operatorname{tg} \varphi\vert = -\operatorname{tg} \varphi$;

6) $\vert\operatorname{ctg} \varphi\vert = \operatorname{ctg} \varphi$?

Для решения данных задач используется определение модуля числа и знаки тригонометрических функций в координатных четвертях. Модуль числа $|x|$ равен самому числу $x$, если $x \ge 0$, и равен противоположному числу $-x$, если $x \le 0$.

Знаки тригонометрических функций по четвертям можно представить на следующей схеме:

1) $|\sin \phi| = \sin \phi$
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $\sin \phi \ge 0$. Синус является неотрицательным в первой и второй координатных четвертях, а также на их границах (при углах $\phi = k\pi$, где $k$ — целое число).
Следовательно, угол $\phi$ находится в I или II координатной четверти.
Ответ: I или II координатная четверть.

2) $|\sin \phi| = \sin(-\phi)$
Поскольку синус — нечетная функция, то $\sin(-\phi) = -\sin \phi$. Тогда исходное уравнение принимает вид $|\sin \phi| = -\sin \phi$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $\sin \phi \le 0$. Синус является неположительным в третьей и четвертой координатных четвертях, а также на их границах (при углах $\phi = \pi + k\pi = (k+1)\pi$, где $k$ — целое число).
Следовательно, угол $\phi$ находится в III или IV координатной четверти.
Ответ: III или IV координатная четверть.

3) $|\cos \phi| = -\cos \phi$
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $\cos \phi \le 0$. Косинус является неположительным во второй и третьей координатных четвертях, а также на их границах (при углах $\phi = \pi/2 + k\pi$, где $k$ — целое число).
Следовательно, угол $\phi$ находится во II или III координатной четверти.
Ответ: II или III координатная четверть.

4) $|\cos(-\phi)| = \cos \phi$
Поскольку косинус — четная функция, то $\cos(-\phi) = \cos \phi$. Тогда исходное уравнение принимает вид $|\cos \phi| = \cos \phi$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $\cos \phi \ge 0$. Косинус является неотрицательным в первой и четвертой координатных четвертях, а также на их границах (при углах $\phi = \pi/2 + k\pi$, где $k$ — целое число).
Следовательно, угол $\phi$ находится в I или IV координатной четверти.
Ответ: I или IV координатная четверть.

5) $|\tg \phi| = -\tg \phi$
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $\tg \phi \le 0$. Тангенс является неположительным во второй и четвертой координатных четвертях. Он равен нулю при углах $\phi = k\pi$, где $k$ — целое число.
Следовательно, угол $\phi$ находится во II или IV координатной четверти.
Ответ: II или IV координатная четверть.

6) $|\ctg \phi| = \ctg \phi$
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $\ctg \phi \ge 0$. Котангенс является неотрицательным в первой и третьей координатных четвертях. Он равен нулю при углах $\phi = \pi/2 + k\pi$, где $k$ — целое число.
Следовательно, угол $\phi$ находится в I или III координатной четверти.
Ответ: I или III координатная четверть.

2.2. Определите знак выражения:

1) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin \frac{19\pi}{20};$

2) $\sin \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2};$

3) $\cos \frac{13\pi}{8} - \cos (-2,25\pi);$

4) $\sin 139^\circ + \cos 50^\circ;$

5) $\operatorname{tg} 1,25 - 1;$

6) $\sqrt{3} - \operatorname{ctg} \frac{13\pi}{20}.$

1) Для определения знака выражения $ \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\frac{19\pi}{20} $ представим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ в виде синуса угла. Мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, выражение принимает вид $ \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{19\pi}{20} $. Теперь сравним углы. Угол $ \frac{19\pi}{20} $ находится во второй координатной четверти, так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{19\pi}{20} < \pi $. Используя формулу приведения, получим $ \sin\frac{19\pi}{20} = \sin(\pi - \frac{\pi}{20}) = \sin\frac{\pi}{20} $. Выражение преобразуется к виду $ \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{20} $. Функция $ y = \sin x $ является возрастающей на отрезке $ [0; \frac{\pi}{2}] $. Углы $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{\pi}{20} $ принадлежат этому отрезку. Поскольку $ \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{20} $, то и значение синуса для большего угла будет больше: $ \sin\frac{\pi}{4} > \sin\frac{\pi}{20} $. Следовательно, разность $ \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{20} $ положительна.
Ответ: знак плюс (положительный).

2) Рассмотрим выражение $ \sin\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} $. Найдем значение $ \sin\frac{2\pi}{3} $. Угол $ \frac{2\pi}{3} $ находится во второй четверти. По формуле приведения $ \sin\frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} $. Табличное значение $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставим это значение в исходное выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 $. Выражение равно нулю, то есть оно не имеет знака (не является ни положительным, ни отрицательным).
Ответ: выражение равно 0.

3) Для определения знака выражения $ \cos\frac{13\pi}{8} - \cos(-2,25\pi) $ упростим каждый из косинусов. Для второго члена используем четность косинуса ($ \cos(-x) = \cos x $) и его периодичность (период $ 2\pi $): $ \cos(-2,25\pi) = \cos(2,25\pi) = \cos(2\pi + 0,25\pi) = \cos(0,25\pi) = \cos\frac{\pi}{4} $. Для первого члена также используем периодичность: $ \cos\frac{13\pi}{8} = \cos(\frac{16\pi-3\pi}{8}) = \cos(2\pi - \frac{3\pi}{8}) = \cos(-\frac{3\pi}{8}) = \cos\frac{3\pi}{8} $. Выражение принимает вид $ \cos\frac{3\pi}{8} - \cos\frac{\pi}{4} $. Функция $ y = \cos x $ является убывающей на отрезке $ [0; \pi] $. Оба угла, $ \frac{3\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{4} $, принадлежат этому отрезку. Сравним углы: $ \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{8} $. Так как $ \frac{3\pi}{8} > \frac{2\pi}{8} $, то для убывающей функции косинуса выполняется обратное неравенство: $ \cos\frac{3\pi}{8} < \cos\frac{2\pi}{8} $, то есть $ \cos\frac{3\pi}{8} < \cos\frac{\pi}{4} $. Следовательно, разность $ \cos\frac{3\pi}{8} - \cos\frac{\pi}{4} $ отрицательна.
Ответ: знак минус (отрицательный).

4) Рассмотрим выражение $ \sin 139^\circ + \cos 50^\circ $. Определим знаки каждого из слагаемых. Угол $ 139^\circ $ находится во второй координатной четверти ($ 90^\circ < 139^\circ < 180^\circ $), где синус положителен. Значит, $ \sin 139^\circ > 0 $. Угол $ 50^\circ $ находится в первой координатной четверти ($ 0^\circ < 50^\circ < 90^\circ $), где косинус положителен. Значит, $ \cos 50^\circ > 0 $. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, $ \sin 139^\circ + \cos 50^\circ > 0 $.
Ответ: знак плюс (положительный).

5) В выражении $ \tg 1,25 - 1 $ аргумент тангенса задан в радианах. Сравним $ \tg 1,25 $ с $ 1 $. Мы знаем, что $ \tg\frac{\pi}{4} = 1 $. Выражение можно переписать как $ \tg 1,25 - \tg\frac{\pi}{4} $. Оценим значение $ \frac{\pi}{4} $. Используя $ \pi \approx 3,1416 $, получаем $ \frac{\pi}{4} \approx 0,7854 $. Функция $ y = \tg x $ является возрастающей на интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. $ \frac{\pi}{2} \approx 1,5708 $. Оба угла, $ 1,25 $ и $ \frac{\pi}{4} $, принадлежат интервалу $ (0; \frac{\pi}{2}) $. Так как $ 1,25 > 0,7854 $, то есть $ 1,25 > \frac{\pi}{4} $, то в силу возрастания тангенса на этом интервале $ \tg 1,25 > \tg\frac{\pi}{4} $. Следовательно, разность $ \tg 1,25 - 1 $ положительна.
Ответ: знак плюс (положительный).

6) Рассмотрим выражение $ \sqrt{3} - \ctg\frac{13\pi}{20} $. Определим знак второго члена, $ \ctg\frac{13\pi}{20} $. Сравним угол $ \frac{13\pi}{20} $ с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} = \frac{10\pi}{20} $ и $ \pi = \frac{20\pi}{20} $. Поскольку $ \frac{10\pi}{20} < \frac{13\pi}{20} < \frac{20\pi}{20} $, угол $ \frac{13\pi}{20} $ находится во второй координатной четверти. Котангенс во второй четверти отрицателен, т.е. $ \ctg\frac{13\pi}{20} < 0 $. Исходное выражение представляет собой разность положительного числа $ \sqrt{3} $ и отрицательного числа $ \ctg\frac{13\pi}{20} $. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного: $ \sqrt{3} - (\text{отрицательное число}) = \sqrt{3} + (\text{положительное число}) $. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Следовательно, выражение $ \sqrt{3} - \ctg\frac{13\pi}{20} $ имеет положительный знак.
Ответ: знак плюс (положительный).