Вопросы, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Почему для определения обратных тригонометрических функций необходимо брать сужения тригонометрических функций на промежутках их монотонности?

2. Напишите область определения и область значений каждой из обратных тригонометрических функций.

3. Напишите формулы зависимости между обратными тригонометрическими функциями и докажите их.

1. Для того чтобы у функции $f(x)$ существовала обратная функция $f^{-1}(y)$, необходимо и достаточно, чтобы исходная функция была взаимно-однозначной (биективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ из области определения должно соответствовать единственное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению функции $y$ из области значений должно соответствовать единственное значение аргумента $x$.

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими. Например, $sin(x) = sin(x + 2\pi k)$ для любого целого $k$. Это означает, что одно и то же значение функции (например, $0.5$) достигается при бесконечном множестве значений аргумента (например, $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, ...$). Следовательно, на всей своей области определения тригонометрические функции не являются взаимно-однозначными, и для них нельзя определить обратную функцию в общепринятом смысле.

Чтобы обойти эту проблему, рассматривают сужение тригонометрической функции на такой промежуток, где она является строго монотонной (строго возрастает или строго убывает). На промежутке строгой монотонности функция принимает каждое свое значение ровно один раз, то есть становится взаимно-однозначной. Для такого сужения функции уже можно корректно определить обратную функцию. Например, для функции $y = sin(x)$ в качестве такого промежутка принято брать отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором синус строго возрастает от $-1$ до $1$. Обратная для этого сужения функция и называется арксинусом.

Ответ: Обратные тригонометрические функции определяются для сужений тригонометрических функций на промежутках их монотонности, потому что только на таких промежутках исходные функции являются взаимно-однозначными, что является необходимым условием для существования обратной функции.

2. Области определения и области значений для каждой из четырех основных обратных тригонометрических функций следующие:

Арксинус: $y = arcsin(x)$
Область определения $D(y): [-1, 1]$
Область значений $E(y): [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

Арккосинус: $y = arccos(x)$
Область определения $D(y): [-1, 1]$
Область значений $E(y): [0, \pi]$

Арктангенс: $y = arctan(x)$
Область определения $D(y): (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$
Область значений $E(y): (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

Арккотангенс: $y = arccot(x)$
Область определения $D(y): (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$
Область значений $E(y): (0, \pi)$

Ответ:
Для $y = arcsin(x)$: $D(y) = [-1, 1]$, $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Для $y = arccos(x)$: $D(y) = [-1, 1]$, $E(y) = [0, \pi]$.
Для $y = arctan(x)$: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Для $y = arccot(x)$: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = (0, \pi)$.

3. Существует несколько основных формул, связывающих обратные тригонометрические функции.

Формула 1: $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in [-1, 1]$.
Доказательство:
Пусть $\alpha = arcsin(x)$. По определению, это означает, что $sin(\alpha) = x$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем тригонометрическое тождество $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.
Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$.
Теперь проверим, принадлежит ли угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ области значений арккосинуса, то есть отрезку $[0, \pi]$.
Так как $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, то, умножив на $-1$, получим $-\frac{\pi}{2} \le -\alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Прибавив $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства, имеем: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$, что дает $0 \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \pi$.
Поскольку $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$ и угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в нужном промежутке $[0, \pi]$, то по определению арккосинуса $arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
Заменив $\alpha$ на $arcsin(x)$, получаем $arccos(x) = \frac{\pi}{2} - arcsin(x)$.
Перенося $arcsin(x)$ в левую часть, получаем $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$. Что и требовалось доказать.

Формула 2: $arctan(x) + arccot(x) = \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
Доказательство:
Пусть $\beta = arctan(x)$. По определению, $tan(\beta) = x$ и $\beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Используем тождество $cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = tan(\beta)$.
Следовательно, $cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = x$.
Проверим, принадлежит ли угол $(\frac{\pi}{2} - \beta)$ области значений арккотангенса, то есть интервалу $(0, \pi)$.
Так как $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{\pi}{2} < -\beta < \frac{\pi}{2}$.
Прибавив $\frac{\pi}{2}$, получим $0 < \frac{\pi}{2} - \beta < \pi$.
Поскольку $cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = x$ и угол $(\frac{\pi}{2} - \beta)$ находится в нужном интервале $(0, \pi)$, то по определению арккотангенса $arccot(x) = \frac{\pi}{2} - \beta$.
Заменив $\beta$ на $arctan(x)$, получаем $arccot(x) = \frac{\pi}{2} - arctan(x)$.
Отсюда $arctan(x) + arccot(x) = \frac{\pi}{2}$. Что и требовалось доказать.

Формулы для отрицательного аргумента:
1. $arcsin(-x) = -arcsin(x)$ (арксинус - нечетная функция).
Доказательство: Пусть $\alpha = arcsin(-x)$, тогда $sin(\alpha) = -x$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Отсюда $x = -sin(\alpha) = sin(-\alpha)$. Так как $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $-\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, по определению арксинуса $arcsin(x) = -\alpha$, откуда $\alpha = -arcsin(x)$. Значит, $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.

2. $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Доказательство: Пусть $\alpha = arccos(-x)$, тогда $cos(\alpha) = -x$ и $\alpha \in [0, \pi]$. Отсюда $x = -cos(\alpha) = cos(\pi - \alpha)$. Так как $\alpha \in [0, \pi]$, то $\pi - \alpha \in [0, \pi]$. Следовательно, по определению арккосинуса $arccos(x) = \pi - \alpha$, откуда $\alpha = \pi - arccos(x)$. Значит, $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

3. $arctan(-x) = -arctan(x)$ (арктангенс - нечетная функция).
Доказательство: Аналогично доказательству для $arcsin(x)$.

4. $arccot(-x) = \pi - arccot(x)$.
Доказательство: Аналогично доказательству для $arccos(x)$.

Ответ: Основные формулы зависимости:
$arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$
$arctan(x) + arccot(x) = \frac{\pi}{2}$
$arcsin(-x) = -arcsin(x)$
$arccos(-x) = \pi - arccos(x)$
$arctan(-x) = -arctan(x)$
$arccot(-x) = \pi - arccot(x)$