Страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Почему для определения обратных тригонометрических функций необходимо брать сужения тригонометрических функций на промежутках их монотонности?

2. Напишите область определения и область значений каждой из обратных тригонометрических функций.

3. Напишите формулы зависимости между обратными тригонометрическими функциями и докажите их.

1. Для того чтобы у функции $f(x)$ существовала обратная функция $f^{-1}(y)$, необходимо и достаточно, чтобы исходная функция была взаимно-однозначной (биективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ из области определения должно соответствовать единственное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению функции $y$ из области значений должно соответствовать единственное значение аргумента $x$.

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими. Например, $sin(x) = sin(x + 2\pi k)$ для любого целого $k$. Это означает, что одно и то же значение функции (например, $0.5$) достигается при бесконечном множестве значений аргумента (например, $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, ...$). Следовательно, на всей своей области определения тригонометрические функции не являются взаимно-однозначными, и для них нельзя определить обратную функцию в общепринятом смысле.

Чтобы обойти эту проблему, рассматривают сужение тригонометрической функции на такой промежуток, где она является строго монотонной (строго возрастает или строго убывает). На промежутке строгой монотонности функция принимает каждое свое значение ровно один раз, то есть становится взаимно-однозначной. Для такого сужения функции уже можно корректно определить обратную функцию. Например, для функции $y = sin(x)$ в качестве такого промежутка принято брать отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором синус строго возрастает от $-1$ до $1$. Обратная для этого сужения функция и называется арксинусом.

Ответ: Обратные тригонометрические функции определяются для сужений тригонометрических функций на промежутках их монотонности, потому что только на таких промежутках исходные функции являются взаимно-однозначными, что является необходимым условием для существования обратной функции.

2. Области определения и области значений для каждой из четырех основных обратных тригонометрических функций следующие:

Арксинус: $y = arcsin(x)$
Область определения $D(y): [-1, 1]$
Область значений $E(y): [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

Арккосинус: $y = arccos(x)$
Область определения $D(y): [-1, 1]$
Область значений $E(y): [0, \pi]$

Арктангенс: $y = arctan(x)$
Область определения $D(y): (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$
Область значений $E(y): (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

Арккотангенс: $y = arccot(x)$
Область определения $D(y): (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$
Область значений $E(y): (0, \pi)$

Ответ:
Для $y = arcsin(x)$: $D(y) = [-1, 1]$, $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Для $y = arccos(x)$: $D(y) = [-1, 1]$, $E(y) = [0, \pi]$.
Для $y = arctan(x)$: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Для $y = arccot(x)$: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = (0, \pi)$.

3. Существует несколько основных формул, связывающих обратные тригонометрические функции.

Формула 1: $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in [-1, 1]$.
Доказательство:
Пусть $\alpha = arcsin(x)$. По определению, это означает, что $sin(\alpha) = x$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем тригонометрическое тождество $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.
Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$.
Теперь проверим, принадлежит ли угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ области значений арккосинуса, то есть отрезку $[0, \pi]$.
Так как $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, то, умножив на $-1$, получим $-\frac{\pi}{2} \le -\alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Прибавив $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства, имеем: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$, что дает $0 \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \pi$.
Поскольку $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$ и угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в нужном промежутке $[0, \pi]$, то по определению арккосинуса $arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
Заменив $\alpha$ на $arcsin(x)$, получаем $arccos(x) = \frac{\pi}{2} - arcsin(x)$.
Перенося $arcsin(x)$ в левую часть, получаем $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$. Что и требовалось доказать.

Формула 2: $arctan(x) + arccot(x) = \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
Доказательство:
Пусть $\beta = arctan(x)$. По определению, $tan(\beta) = x$ и $\beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Используем тождество $cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = tan(\beta)$.
Следовательно, $cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = x$.
Проверим, принадлежит ли угол $(\frac{\pi}{2} - \beta)$ области значений арккотангенса, то есть интервалу $(0, \pi)$.
Так как $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{\pi}{2} < -\beta < \frac{\pi}{2}$.
Прибавив $\frac{\pi}{2}$, получим $0 < \frac{\pi}{2} - \beta < \pi$.
Поскольку $cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = x$ и угол $(\frac{\pi}{2} - \beta)$ находится в нужном интервале $(0, \pi)$, то по определению арккотангенса $arccot(x) = \frac{\pi}{2} - \beta$.
Заменив $\beta$ на $arctan(x)$, получаем $arccot(x) = \frac{\pi}{2} - arctan(x)$.
Отсюда $arctan(x) + arccot(x) = \frac{\pi}{2}$. Что и требовалось доказать.

Формулы для отрицательного аргумента:
1. $arcsin(-x) = -arcsin(x)$ (арксинус - нечетная функция).
Доказательство: Пусть $\alpha = arcsin(-x)$, тогда $sin(\alpha) = -x$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Отсюда $x = -sin(\alpha) = sin(-\alpha)$. Так как $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $-\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, по определению арксинуса $arcsin(x) = -\alpha$, откуда $\alpha = -arcsin(x)$. Значит, $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.

2. $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Доказательство: Пусть $\alpha = arccos(-x)$, тогда $cos(\alpha) = -x$ и $\alpha \in [0, \pi]$. Отсюда $x = -cos(\alpha) = cos(\pi - \alpha)$. Так как $\alpha \in [0, \pi]$, то $\pi - \alpha \in [0, \pi]$. Следовательно, по определению арккосинуса $arccos(x) = \pi - \alpha$, откуда $\alpha = \pi - arccos(x)$. Значит, $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

3. $arctan(-x) = -arctan(x)$ (арктангенс - нечетная функция).
Доказательство: Аналогично доказательству для $arcsin(x)$.

4. $arccot(-x) = \pi - arccot(x)$.
Доказательство: Аналогично доказательству для $arccos(x)$.

Ответ: Основные формулы зависимости:
$arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$
$arctan(x) + arccot(x) = \frac{\pi}{2}$
$arcsin(-x) = -arcsin(x)$
$arccos(-x) = \pi - arccos(x)$
$arctan(-x) = -arctan(x)$
$arccot(-x) = \pi - arccot(x)$

2.30. Вычислите:

1) $sin(2\arcsin 0,75);$

2) $cos(\arcsin(-0,5));$

3) $\arcsin(\sin 2);$

4) $\operatorname{tg}\left(2\arcsin \frac{2}{3}\right);$

5) $sin(\operatorname{arctg} 2 + \operatorname{arctg} 3);$

6) $cos\left(\arcsin \frac{1}{3} - \arccos \frac{2}{3}\right).$

1) Для вычисления $\sin(2\arcsin 0,75)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Пусть $\alpha = \arcsin 0,75$. По определению арксинуса, $\sin\alpha = 0,75 = \frac{3}{4}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Так как $\sin\alpha > 0$, то $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Имеем $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$. Поскольку $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$, значение $\cos\alpha$ неотрицательно, следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$. Подставим значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ в формулу двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{6\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{7}}{8}$.

2) Пусть $\alpha = \arcsin(-0,5)$. По определению арксинуса, $\sin\alpha = -0,5 = -\frac{1}{2}$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Нам нужно найти $\cos(\arcsin(-0,5)) = \cos\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Отсюда $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Так как $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, косинус в этом промежутке неотрицателен ($\cos\alpha \ge 0$). Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) По определению, равенство $\arcsin(\sin x) = x$ верно только при условии, что $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Оценим значение $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$. Так как $2 > 1,57$, число $2$ не входит в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Нам нужно найти такое число $y$, которое принадлежит этому отрезку, и для которого $\sin y = \sin 2$. Используем формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$. Пусть $y = \pi - 2$. Проверим, принадлежит ли это значение требуемому интервалу: $\pi - 2 \approx 3,14 - 2 = 1,14$. Так как $-\frac{\pi}{2} < \pi - 2 < \frac{\pi}{2}$, то искомое значение $y = \pi-2$. Таким образом, $\arcsin(\sin 2) = \arcsin(\sin(\pi - 2)) = \pi - 2$.
Ответ: $\pi - 2$.

4) Для вычисления $\text{tg}(2\arcsin\frac{2}{3})$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$. Пусть $\alpha = \arcsin\frac{2}{3}$. Тогда $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ и $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$, так как аргумент арксинуса положителен. Найдем $\cos\alpha$: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (косинус положителен, так как $\alpha$ в первой четверти). Теперь найдем $\text{tg}\alpha$: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Подставим значение $\text{tg}\alpha$ в формулу двойного угла: $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot 5 = \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$.
Ответ: $4\sqrt{5}$.

5) Для вычисления $\sin(\text{arctg} 2 + \text{arctg} 3)$ воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Пусть $\alpha = \text{arctg} 2$ и $\beta = \text{arctg} 3$. По определению арктангенса, $\text{tg}\alpha = 2$ и $\text{tg}\beta = 3$. Так как аргументы арктангенса положительны, оба угла $\alpha$ и $\beta$ лежат в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. Найдем синусы и косинусы этих углов. Используем тождества $1 + \text{tg}^2x = \sec^2x = \frac{1}{\cos^2x}$ и $\sin x = \text{tg}x \cos x$. Для $\alpha$: $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Тогда $\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Для $\beta$: $\cos\beta = \frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2\beta}} = \frac{1}{\sqrt{1+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Тогда $\sin\beta = \text{tg}\beta \cos\beta = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$. Подставляем в формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{50}} + \frac{3}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

6) Для вычисления $\cos(\arcsin\frac{1}{3} - \arccos\frac{2}{3})$ воспользуемся формулой косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{3}$ и $\beta = \arccos\frac{2}{3}$. Из определений обратных тригонометрических функций имеем: $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ с $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$ и $\cos\beta = \frac{2}{3}$ с $\beta \in [0; \frac{\pi}{2}]$. Нам нужно найти $\cos\alpha$ и $\sin\beta$. Из основного тригонометрического тождества: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. $\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Подставим все найденные значения в формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{9} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$.

2.31. Найдите значение выражения:

1) $ \arcsin(\sin 257^\circ) $;

2) $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right)\right) $;

3) $ \sin\left(2\operatorname{arctg}\frac{1}{3}\right) + \cos(\operatorname{arctg} 2\sqrt{3}) $;

4) $ \operatorname{tg}\left(5\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.

1) Найдем значение выражения $ \arcsin(\sin 257^{\circ}) $.
По определению, область значений функции арксинус $ y = \arcsin(x) $ является отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, что в градусах соответствует $ [-90^{\circ}, 90^{\circ}] $.
Угол $ 257^{\circ} $ не входит в этот промежуток. Нам нужно найти такой угол $ \alpha \in [-90^{\circ}, 90^{\circ}] $, для которого $ \sin(\alpha) = \sin(257^{\circ}) $.
Используем формулы приведения. Угол $ 257^{\circ} $ находится в третьей четверти.
Представим $ 257^{\circ} $ как $ 180^{\circ} + 77^{\circ} $.
Используя формулу $ \sin(180^{\circ} + \alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем:
$ \sin(257^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 77^{\circ}) = -\sin(77^{\circ}) $.
Теперь исходное выражение можно переписать так: $ \arcsin(-\sin(77^{\circ})) $.
Так как арксинус является нечетной функцией, то $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $. Следовательно:
$ \arcsin(-\sin(77^{\circ})) = -\arcsin(\sin(77^{\circ})) $.
Поскольку угол $ 77^{\circ} $ принадлежит промежутку $ [-90^{\circ}, 90^{\circ}] $, то $ \arcsin(\sin(77^{\circ})) = 77^{\circ} $.
В итоге получаем: $ -77^{\circ} $.
Ответ: $ -77^{\circ} $.

2) Найдем значение выражения $ \text{arcctg}\left(\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right)\right) $.
По определению, область значений функции арккотангенс $ y = \text{arcctg}(x) $ является интервал $ (0, \pi) $.
Угол $ -\frac{\pi}{11} $ не входит в этот промежуток. Нам нужно найти такой угол $ \alpha \in (0, \pi) $, для которого $ \text{ctg}(\alpha) = \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right) $.
Период функции котангенс равен $ \pi $, то есть $ \text{ctg}(x) = \text{ctg}(x + k\pi) $ для любого целого $ k $.
Возьмем $ k=1 $:
$ \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right) = \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11} + \pi\right) = \text{ctg}\left(\frac{10\pi}{11}\right) $.
Угол $ \frac{10\pi}{11} $ принадлежит интервалу $ (0, \pi) $.
Следовательно, $ \text{arcctg}\left(\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{11}\right)\right) = \text{arcctg}\left(\text{ctg}\left(\frac{10\pi}{11}\right)\right) $.
Так как $ \frac{10\pi}{11} \in (0, \pi) $, то $ \text{arcctg}\left(\text{ctg}\left(\frac{10\pi}{11}\right)\right) = \frac{10\pi}{11} $.
Ответ: $ \frac{10\pi}{11} $.

3) Найдем значение выражения $ \sin\left(2\text{arctg}\frac{1}{3}\right) + \cos\left(\text{arctg}\,2\sqrt{3}\right) $.
Разобьем задачу на две части.
1. Вычислим $ \sin\left(2\text{arctg}\frac{1}{3}\right) $.
Пусть $ \alpha = \text{arctg}\frac{1}{3} $. Тогда $ \text{tg}\,\alpha = \frac{1}{3} $ и $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Используем формулу синуса двойного угла через тангенс: $ \sin(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\,\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha} $.
Подставляем значение $ \text{tg}\,\alpha $:
$ \sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} $.
2. Вычислим $ \cos\left(\text{arctg}\,2\sqrt{3}\right) $.
Пусть $ \beta = \text{arctg}\,2\sqrt{3} $. Тогда $ \text{tg}\,\beta = 2\sqrt{3} $ и $ \beta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Используем тождество $ 1 + \text{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta} $. Отсюда $ \cos^2\beta = \frac{1}{1+\text{tg}^2\beta} $.
$ \cos^2\beta = \frac{1}{1+(2\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1+4 \cdot 3} = \frac{1}{1+12} = \frac{1}{13} $.
Так как $ \text{tg}\,\beta = 2\sqrt{3} > 0 $, угол $ \beta $ находится в первой четверти, где косинус положителен.
Следовательно, $ \cos\beta = \sqrt{\frac{1}{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13} $.
3. Сложим полученные результаты:
$ \frac{3}{5} + \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{13}}{13} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{13}}{13} $.

4) Найдем значение выражения $ \text{tg}\left(5\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.
Сначала найдем значения аркфункций.
$ \text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} $: ищем угол $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.
$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $: ищем угол $ \beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{3} $.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \text{tg}\left(5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) $.
Упростим выражение в скобках:
$ 5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $.
Осталось найти $ \text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) $.
Используем формулу приведения $ \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}\,\alpha $:
$ \text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) $.
Так как $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $, то $ \text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $.