Номер 2.30, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. Вычислите:

1) $sin(2\arcsin 0,75);$

2) $cos(\arcsin(-0,5));$

3) $\arcsin(\sin 2);$

4) $\operatorname{tg}\left(2\arcsin \frac{2}{3}\right);$

5) $sin(\operatorname{arctg} 2 + \operatorname{arctg} 3);$

6) $cos\left(\arcsin \frac{1}{3} - \arccos \frac{2}{3}\right).$

1) Для вычисления $\sin(2\arcsin 0,75)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Пусть $\alpha = \arcsin 0,75$. По определению арксинуса, $\sin\alpha = 0,75 = \frac{3}{4}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Так как $\sin\alpha > 0$, то $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Имеем $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$. Поскольку $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$, значение $\cos\alpha$ неотрицательно, следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$. Подставим значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ в формулу двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{6\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{7}}{8}$.

2) Пусть $\alpha = \arcsin(-0,5)$. По определению арксинуса, $\sin\alpha = -0,5 = -\frac{1}{2}$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Нам нужно найти $\cos(\arcsin(-0,5)) = \cos\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Отсюда $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Так как $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, косинус в этом промежутке неотрицателен ($\cos\alpha \ge 0$). Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) По определению, равенство $\arcsin(\sin x) = x$ верно только при условии, что $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Оценим значение $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$. Так как $2 > 1,57$, число $2$ не входит в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Нам нужно найти такое число $y$, которое принадлежит этому отрезку, и для которого $\sin y = \sin 2$. Используем формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$. Пусть $y = \pi - 2$. Проверим, принадлежит ли это значение требуемому интервалу: $\pi - 2 \approx 3,14 - 2 = 1,14$. Так как $-\frac{\pi}{2} < \pi - 2 < \frac{\pi}{2}$, то искомое значение $y = \pi-2$. Таким образом, $\arcsin(\sin 2) = \arcsin(\sin(\pi - 2)) = \pi - 2$.
Ответ: $\pi - 2$.

4) Для вычисления $\text{tg}(2\arcsin\frac{2}{3})$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$. Пусть $\alpha = \arcsin\frac{2}{3}$. Тогда $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ и $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$, так как аргумент арксинуса положителен. Найдем $\cos\alpha$: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (косинус положителен, так как $\alpha$ в первой четверти). Теперь найдем $\text{tg}\alpha$: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Подставим значение $\text{tg}\alpha$ в формулу двойного угла: $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot 5 = \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$.
Ответ: $4\sqrt{5}$.

5) Для вычисления $\sin(\text{arctg} 2 + \text{arctg} 3)$ воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Пусть $\alpha = \text{arctg} 2$ и $\beta = \text{arctg} 3$. По определению арктангенса, $\text{tg}\alpha = 2$ и $\text{tg}\beta = 3$. Так как аргументы арктангенса положительны, оба угла $\alpha$ и $\beta$ лежат в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. Найдем синусы и косинусы этих углов. Используем тождества $1 + \text{tg}^2x = \sec^2x = \frac{1}{\cos^2x}$ и $\sin x = \text{tg}x \cos x$. Для $\alpha$: $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Тогда $\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Для $\beta$: $\cos\beta = \frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2\beta}} = \frac{1}{\sqrt{1+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Тогда $\sin\beta = \text{tg}\beta \cos\beta = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$. Подставляем в формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{50}} + \frac{3}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

6) Для вычисления $\cos(\arcsin\frac{1}{3} - \arccos\frac{2}{3})$ воспользуемся формулой косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{3}$ и $\beta = \arccos\frac{2}{3}$. Из определений обратных тригонометрических функций имеем: $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ с $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$ и $\cos\beta = \frac{2}{3}$ с $\beta \in [0; \frac{\pi}{2}]$. Нам нужно найти $\cos\alpha$ и $\sin\beta$. Из основного тригонометрического тождества: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. $\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Подставим все найденные значения в формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{9} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$.