Номер 2.35, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.35. Верно ли равенство $\arccos x + \arccos \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3 - 3x^2} \right) = \frac{\pi}{3}$, $x \in \left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$?

Для проверки справедливости равенства рассмотрим его левую часть. Обозначим $L(x) = \arccos x + \arccos\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3-3x^2}\right)$.

Прежде всего, преобразуем выражение под знаком второго арккосинуса. Заметим, что $\sqrt{3-3x^2} = \sqrt{3(1-x^2)} = \sqrt{3}\sqrt{1-x^2}$.Тогда левая часть равенства принимает вид:$L(x) = \arccos x + \arccos\left(\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-x^2}\right)$.

Введем замену переменной. Пусть $\alpha = \arccos x$. По условию задачи $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$. Поскольку функция арккосинус является убывающей, то для $\alpha$ получаем:$\arccos(1) \le \alpha \le \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$,что соответствует промежутку $\alpha \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$.

Из определения $\alpha = \arccos x$ следует, что $\cos \alpha = x$.Так как $\alpha$ находится в первой четверти ($ \alpha \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right] $), то $\sin \alpha \ge 0$. Следовательно, мы можем записать:$\sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha} = \sqrt{1-x^2}$.

Теперь подставим выражения для $x$ и $\sqrt{1-x^2}$ в левую часть исходного равенства:$L(x) = \alpha + \arccos\left(\frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha\right)$.

Выражение в скобках второго арккосинуса соответствует формуле косинуса разности: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Следовательно, выражение можно переписать в виде:$\frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos \alpha + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin \alpha = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$.

Таким образом, левая часть исходного равенства преобразуется к виду:$L(x) = \alpha + \arccos\left(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)\right)$.

Далее воспользуемся свойством $\arccos(\cos y) = y$, которое справедливо только при условии $y \in [0, \pi]$.Определим, в каком промежутке находится наш аргумент $\alpha - \frac{\pi}{3}$.Поскольку $\alpha \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$, то $\alpha - \frac{\pi}{3} \in \left[0 - \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right]$, то есть $\alpha - \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right]$.Этот промежуток не входит в область $[0, \pi]$, поэтому мы не можем напрямую применить указанное выше свойство.

Однако, функция косинус является четной, то есть $\cos(-y) = \cos y$. Используя это свойство, получаем:$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$.Теперь рассмотрим новый аргумент $y' = \frac{\pi}{3} - \alpha$.Так как $\alpha \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$, то $-\alpha \in \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right]$, и $\frac{\pi}{3} - \alpha \in \left[\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} - 0\right]$, то есть $\frac{\pi}{3} - \alpha \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$.Этот промежуток $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ является подмножеством отрезка $[0, \pi]$, поэтому для него свойство $\arccos(\cos y') = y'$ выполняется.Таким образом, $\arccos\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right) = \frac{\pi}{3} - \alpha$.

Подставляем полученное выражение обратно в левую часть:$L(x) = \alpha + \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{\pi}{3}$.

Мы показали, что левая часть равенства тождественно равна $\frac{\pi}{3}$ для всех $x$ из заданного промежутка $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$.Следовательно, данное равенство является верным.

Ответ: Да, равенство верно.