Вопросы, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений и обоснуйте их на чертеже.

2. Напишите формулы нахождения решений уравнений вида: $sin x = 1$, $sin x = -1$, $sin x = 0$, $cos x = 1$, $cos x = -1$, $cos x = 0$.

3. Какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете? Назовите (выделите) основные мотивы применения этих методов.

1. Напишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений и обоснуйте их на чертеже.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида $sin x = a$, $cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$, $\operatorname{ctg} x = a$.

Уравнение $sin x = a$

При $|a| > 1$ уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

При $|a| \le 1$ решения находятся по формуле: $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Обоснование на чертеже:

Решения уравнения $sin x = a$ – это углы, ордината (координата y) которых на единичной окружности равна $a$. Для нахождения этих углов проведем прямую $y = a$. Она пересечет единичную окружность в одной (если $|a|=1$) или двух (если $|a|<1$) точках.

На чертеже показан случай, когда $a \in (0, 1)$. Прямая $y=a$ пересекает окружность в двух точках. Угол, соответствующий правой точке, равен $\alpha = \arcsin a$. Угол, соответствующий левой точке, равен $\pi - \arcsin a$. Так как функция синус периодическая с периодом $2\pi$, все решения можно записать в виде двух серий: $x = \arcsin a + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Эти две серии объединяются в одну общую формулу: $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $cos x = a$

При $|a| > 1$ уравнение не имеет решений.

При $|a| \le 1$ решения находятся по формуле: $x = \pm \arccos a + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Обоснование на чертеже:

Решения уравнения $cos x = a$ – это углы, абсцисса (координата x) которых на единичной окружности равна $a$. Проведем прямую $x = a$.

Прямая $x=a$ пересекает окружность в двух точках (при $a \in (-1, 1)$). Угол, соответствующий верхней точке, равен $\alpha = \arccos a$. Угол, соответствующий нижней точке, равен $-\alpha = -\arccos a$. Учитывая периодичность косинуса, все решения записываются в виде одной формулы: $x = \pm \arccos a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\operatorname{tg} x = a$

Уравнение имеет решения для любого $a \in \mathbb{R}$. Решения находятся по формуле: $x = \operatorname{arctg} a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Обоснование на чертеже:

Тангенс угла – это ордината точки пересечения конечной стороны угла с линией тангенсов (касательной к окружности в точке $(1,0)$, т.е. прямой $x=1$).

Отметим на линии тангенсов ($x=1$) точку $T$ с ординатой $a$. Проведем прямую через начало координат и точку $T$. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках. Угол, соответствующий точке в правой полуплоскости, равен $\alpha = \operatorname{arctg} a$. Второй угол равен $\alpha + \pi$. Так как функция тангенс периодическая с периодом $\pi$, все решения объединяются в одну серию: $x = \operatorname{arctg} a + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\operatorname{ctg} x = a$

Уравнение имеет решения для любого $a \in \mathbb{R}$. Решения находятся по формуле: $x = \operatorname{arcctg} a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Обоснование на чертеже:

Котангенс угла – это абсцисса точки пересечения конечной стороны угла с линией котангенсов (касательной к окружности в точке $(0,1)$, т.е. прямой $y=1$).

Отметим на линии котангенсов ($y=1$) точку $C$ с абсциссой $a$. Прямая, проходящая через начало координат и точку $C$, пересечет единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках. Угол, соответствующий точке в верхней полуплоскости, равен $\alpha = \operatorname{arcctg} a$. Второй угол равен $\alpha + \pi$. Учитывая период котангенса, равный $\pi$, все решения записываются формулой: $x = \operatorname{arcctg} a + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $sin x = a \implies x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$; $cos x = a \implies x = \pm \arccos a + 2\pi k$; $\operatorname{tg} x = a \implies x = \operatorname{arctg} a + \pi k$; $\operatorname{ctg} x = a \implies x = \operatorname{arcctg} a + \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$ и для синуса/косинуса $|a| \le 1$).

2. Напишите формулы нахождения решений уравнений вида: sin x = 1, sin x = -1, sin x = 0, cos x = 1, cos x = -1, cos x = 0.

Это частные случаи простейших тригонометрических уравнений. Их решения соответствуют точкам пересечения единичной окружности с осями координат, поэтому формулы решений записываются в более простом виде, чем общие.

• Для $sin x = 1$ (верхняя точка окружности $(0, 1)$): $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• Для $sin x = -1$ (нижняя точка окружности $(0, -1)$): $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• Для $sin x = 0$ (правая и левая точки окружности $(1, 0)$ и $(-1, 0)$): $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• Для $cos x = 1$ (правая точка окружности $(1, 0)$): $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• Для $cos x = -1$ (левая точка окружности $(-1, 0)$): $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• Для $cos x = 0$ (верхняя и нижняя точки окружности $(0, 1)$ и $(0, -1)$): $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $sin x = 0 \implies x = \pi k$; $cos x = 1 \implies x = 2\pi k$; $cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$; $cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете? Назовите (выделите) основные мотивы применения этих методов.

Существует несколько основных методов решения тригонометрических уравнений, выбор которых зависит от вида уравнения.

1. Алгебраический метод (метод замены переменной)
Мотив: Уравнение содержит одну и ту же тригонометрическую функцию, либо различные функции, которые легко выражаются одна через другую (например, $\sin x$ и $\cos^2 x$ с использованием тождества $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$).
Суть метода: Вводится замена, которая превращает тригонометрическое уравнение в алгебраическое (например, квадратное). Пример: в уравнении $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ замена $t = \sin x$ приводит к $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

2. Метод разложения на множители
Мотив: Все члены уравнения можно перенести в одну сторону и разложить полученное выражение на множители.
Суть метода: Уравнение $F(x) = 0$ сводится к виду $f(x) \cdot g(x) = 0$, что равносильно совокупности уравнений $f(x)=0$ или $g(x)=0$. Пример: $\sin(2x) - \sin x = 0 \implies 2\sin x \cos x - \sin x = 0 \implies \sin x(2\cos x - 1) = 0$.

3. Решение однородных уравнений
Мотив: Уравнение является однородным относительно $\sin x$ и $\cos x$, то есть все его слагаемые имеют одинаковую степень. Пример: $a\sin x + b\cos x = 0$ (1-я степень), $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$ (2-я степень).
Суть метода: Уравнение делится на $\cos^n x$ (где $n$ – степень однородности), что приводит к алгебраическому уравнению относительно $\operatorname{tg} x$. Необходимо отдельно проверить случай, когда $\cos x = 0$.

4. Метод введения вспомогательного угла
Мотив: Уравнение имеет вид $a \sin x + b \cos x = c$, где $a, b, c$ – константы.
Суть метода: Левая часть уравнения преобразуется к виду $R \sin(x+\varphi)$ или $R \cos(x-\varphi)$. Для этого обе части уравнения делят на $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, после чего коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ становятся косинусом и синусом некоторого угла $\varphi$.

5. Метод понижения степени
Мотив: Уравнение содержит тригонометрические функции в четных степенях ($\sin^2 x, \cos^4 x$ и т.п.).
Суть метода: Применяются формулы понижения степени, например, $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ и $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$, чтобы перейти к уравнению с меньшими степенями, но с кратными аргументами.

6. Использование формул преобразования сумм в произведения
Мотив: В уравнении присутствуют суммы или разности одноименных тригонометрических функций (например, $\cos(3x) + \cos x$).
Суть метода: Применение формул суммы/разности синусов/косинусов позволяет преобразовать выражение в произведение, после чего применяется метод разложения на множители.

7. Метод оценки (использование ограниченности функций)
Мотив: Левая и правая части уравнения имеют разные или непересекающиеся множества значений, либо достигают своих граничных значений одновременно.
Суть метода: Используются свойства функций, такие как $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \cos x \le 1$. Пример: уравнение $\sin(5x) + \cos(3y) = 2$ имеет решение только если $\sin(5x)=1$ и $\cos(3y)=1$ одновременно.

Ответ: Основные методы: алгебраический (замена переменной), разложение на множители, решение однородных уравнений, введение вспомогательного угла, понижение степени, преобразование сумм в произведения, метод оценки. Мотивы применения связаны со структурой уравнения: наличием одной и той же функции, возможностью факторизации, видом $a \sin x + b \cos x = c$, наличием четных степеней и т.д.