Номер 3.5, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.5. 1) $4 \sin x + 3 = 0$;

2) $7 \cos x - 2 = 0$;

3) $\operatorname{tg} 3x + 10 = 0$;

4) $12 \operatorname{ctg} 2x = 5$.

1) Дано уравнение $4\sin x + 3 = 0$.

Для начала выразим $\sin x$:

$4\sin x = -3$

$\sin x = -\frac{3}{4}$

Поскольку значение $|\-\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения.

Общая формула для решения уравнения $\sin x = a$ имеет вид: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим в формулу значение $a = -\frac{3}{4}$:

$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{3}{4}) + \pi k$

Воспользуемся свойством арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:

$x = (-1)^k (-\arcsin\frac{3}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin\frac{3}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\frac{3}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $7\cos x - 2 = 0$.

Выразим $\cos x$:

$7\cos x = 2$

$\cos x = \frac{2}{7}$

Поскольку значение $|\frac{2}{7}| \le 1$, уравнение имеет решения.

Общая формула для решения уравнения $\cos x = a$ имеет вид: $x = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим в формулу значение $a = \frac{2}{7}$:

$x = \pm\arccos(\frac{2}{7}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\arccos\frac{2}{7} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\operatorname{tg} 3x + 10 = 0$.

Выразим $\operatorname{tg} 3x$:

$\operatorname{tg} 3x = -10$

Общая формула для решения уравнения $\operatorname{tg} y = a$ имеет вид: $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 3x$ и $a = -10$.

$3x = \operatorname{arctg}(-10) + \pi n$

Воспользуемся свойством арктангенса $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$:

$3x = -\operatorname{arctg}(10) + \pi n$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = -\frac{1}{3}\operatorname{arctg}(10) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}\operatorname{arctg}(10) + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $12\operatorname{ctg} 2x = 5$.

Выразим $\operatorname{ctg} 2x$:

$\operatorname{ctg} 2x = \frac{5}{12}$

Общая формула для решения уравнения $\operatorname{ctg} y = a$ имеет вид: $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = \frac{5}{12}$.

$2x = \operatorname{arcctg}(\frac{5}{12}) + \pi n$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(\frac{5}{12}) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}\frac{5}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.