Номер 3.10, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.10. 1) $2\sin^2 x + \sin x = 1$;

2) $\operatorname{tg}^3 x + 2\operatorname{tg}^2 x + 3\operatorname{tg}x = 0$;

3) $4\sin^4 x + \cos 4x = 1 + 12\cos^4 x$;

4) $\cos^2 x = \sin x - 1$.

1)Дано уравнение $2\sin^2 x + \sin x = 1$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin x$:
$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса от -1 до 1, то $|t| \le 1$.
Уравнение принимает вид:
$2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.
Получаем два корня для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Оба значения $t_1 = 1/2$ и $t_2 = -1$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Выполним обратную замену:
Случай 1: $\sin x = \frac{1}{2}$.
Общее решение для этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, что дает $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $\sin x = -1$.
Это частный случай, решение которого: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

2)Дано уравнение $\text{tg}^3 x + 2\text{tg}^2 x + 3\text{tg} x = 0$.
Вынесем общий множитель $\text{tg} x$ за скобки:
$\text{tg} x (\text{tg}^2 x + 2\text{tg} x + 3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\text{tg} x = 0$.
Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $\text{tg}^2 x + 2\text{tg} x + 3 = 0$.
Сделаем замену $y = \text{tg} x$. Получаем квадратное уравнение:
$y^2 + 2y + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как дискриминант $D < 0$, это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, во втором случае решений нет.
Единственным решением исходного уравнения являются корни из первого случая.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

3)Дано уравнение $4\sin^4 x + \cos 4x = 1 + 12\cos^4 x$.
Для упрощения уравнения воспользуемся формулой косинуса четверного угла, выразив его через синус и косинус одинарного угла:
$\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2(2\sin x \cos x)^2 = 1 - 8\sin^2 x \cos^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$4\sin^4 x + (1 - 8\sin^2 x \cos^2 x) = 1 + 12\cos^4 x$.
Вычтем 1 из обеих частей и перенесем все члены в левую часть:
$4\sin^4 x - 8\sin^2 x \cos^2 x - 12\cos^4 x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $4(1)^2 - 0 - 0 = 4 \ne 0$. Значит, $\cos x \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^4 x$:
$\frac{4\sin^4 x}{\cos^4 x} - \frac{8\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^4 x} - \frac{12\cos^4 x}{\cos^4 x} = 0$.
$4\text{tg}^4 x - 8\text{tg}^2 x - 12 = 0$.
Разделим уравнение на 4:
$\text{tg}^4 x - 2\text{tg}^2 x - 3 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно $\text{tg} x$. Сделаем замену $y = \text{tg}^2 x$, при этом $y \ge 0$.
$y^2 - 2y - 3 = 0$.
Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант: $(y-3)(y+1)=0$.
$y_1 = 3$; $y_2 = -1$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к замене с $y_1 = 3$:
$\text{tg}^2 x = 3$, что равносильно $\text{tg} x = \pm\sqrt{3}$.
1. $\text{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg} x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить в одну запись: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

4)Дано уравнение $\cos^2 x = \sin x - 1$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$1 - \sin^2 x = \sin x - 1$.
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = \sin^2 x + \sin x - 2$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$t^2 + t - 2 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко найти по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$, $t_1 \cdot t_2 = -2$.
Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Проверим корни на соответствие условию $|t| \le 1$.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < -1$, и является посторонним.
Выполним обратную замену для подходящего корня:
$\sin x = 1$.
Это частный случай, решением которого является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$