Номер 3.16, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.16. 1) $4 \sin 3x + 3 \cos 3x = 5, 2;$

2) $3 \sin x - 4 \cos x = 5;$

3) $2 \sin 7x + \sqrt{3} \cos 3x + \sin 3x = 0;$

4) $3 \sin x + 4 \cos x + 5 \sin 3x = 0.$

1) Дано уравнение $4\sin3x + 3\cos3x = 5,2$.Это уравнение вида $a\sin(y) + b\cos(y) = c$, где $y=3x$, $a=4$, $b=3$, $c=5,2$.Воспользуемся методом оценки. Максимальное значение выражения $a\sin(y) + b\cos(y)$ равно $\sqrt{a^2 + b^2}$.В нашем случае, максимальное значение левой части уравнения равно $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.Таким образом, выражение $4\sin3x + 3\cos3x$ может принимать значения только в диапазоне от $-5$ до $5$.Правая часть уравнения равна $5,2$, что больше максимального возможного значения левой части ($5,2 > 5$).Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

2) Дано уравнение $3\sin x - 4\cos x = 5$.Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$, где $a=3$, $b=-4$, $c=5$.Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.Получим: $\frac{3}{5}\sin x - \frac{4}{5}\cos x = \frac{5}{5}$, что равносильно $\frac{3}{5}\sin x - \frac{4}{5}\cos x = 1$.Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ и $\sin\varphi = \frac{4}{5}$. Заметим, что $\varphi = \arcsin\frac{4}{5}$ (или $\varphi = \arccos\frac{3}{5}$).Уравнение принимает вид: $\cos\varphi \sin x - \sin\varphi \cos x = 1$.Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, получаем: $\sin(x - \varphi) = 1$.Решением этого уравнения является $x - \varphi = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Отсюда $x = \varphi + \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.Подставляя значение $\varphi$, получаем $x = \arcsin\frac{4}{5} + \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arcsin\frac{4}{5} + \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $2\sin 7x + \sqrt{3}\cos 3x + \sin 3x = 0$.Сгруппируем слагаемые с аргументом $3x$: $2\sin 7x + (\sin 3x + \sqrt{3}\cos 3x) = 0$.Преобразуем выражение в скобках с помощью введения вспомогательного угла. Для $\sin 3x + \sqrt{3}\cos 3x$ имеем $a=1, b=\sqrt{3}$.Делим и умножаем на $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.Получаем: $2(\frac{1}{2}\sin 3x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 3x)$.Так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, выражение в скобках можно записать как $\cos\frac{\pi}{3}\sin 3x + \sin\frac{\pi}{3}\cos 3x$, что по формуле синуса суммы равно $\sin(3x + \frac{\pi}{3})$.Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $2\sin 7x + 2\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = 0$.$\sin 7x + \sin(3x + \frac{\pi}{3}) = 0$.$\sin 7x = -\sin(3x + \frac{\pi}{3})$.Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, получаем: $\sin 7x = \sin(-3x - \frac{\pi}{3})$.Решения уравнения $\sin\alpha = \sin\beta$ имеют вид $\alpha = \beta + 2\pi k$ или $\alpha = \pi - \beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим два случая:
1) $7x = -3x - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
$10x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
$x = -\frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.
2) $7x = \pi - (-3x - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n$.
$7x = \pi + 3x + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.
$4x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.
$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $3\sin x + 4\cos x + 5\sin 3x = 0$.Преобразуем выражение $3\sin x + 4\cos x$ с помощью введения вспомогательного угла.Умножим и разделим его на $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.$5(\frac{3}{5}\sin x + \frac{4}{5}\cos x)$.Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ и $\sin\varphi = \frac{4}{5}$. Тогда $\varphi = \arccos\frac{3}{5}$.Выражение в скобках равно $\cos\varphi\sin x + \sin\varphi\cos x = \sin(x+\varphi)$.Исходное уравнение принимает вид: $5\sin(x+\varphi) + 5\sin 3x = 0$.$\sin(x+\varphi) + \sin 3x = 0$.$\sin 3x = -\sin(x+\varphi)$.$\sin 3x = \sin(-x-\varphi)$.Решения уравнения $\sin\alpha = \sin\beta$ имеют вид $\alpha = \beta + 2\pi k$ или $\alpha = \pi - \beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим два случая:
1) $3x = -x - \varphi + 2\pi k$.
$4x = -\varphi + 2\pi k$.
$x = -\frac{\varphi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
Подставляя $\varphi = \arccos\frac{3}{5}$, получаем $x = -\frac{1}{4}\arccos\frac{3}{5} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
2) $3x = \pi - (-x - \varphi) + 2\pi n$.
$3x = \pi + x + \varphi + 2\pi n$.
$2x = \pi + \varphi + 2\pi n$.
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\varphi}{2} + \pi n$.
Подставляя $\varphi = \arccos\frac{3}{5}$, получаем $x = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\arccos\frac{3}{5} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{4}\arccos\frac{3}{5} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\arccos\frac{3}{5} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.