Номер 3.18, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.18. Найдите все корни уравнения $\sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{2} \cos 3x = 0$, лежащие на промежутке $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.

В упражнениях 3.19, 3.20 решите уравнения методом замены переменной.

Исходное уравнение: $\sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{2} \cos 3x = 0$.

Перепишем уравнение, перенеся второе слагаемое в правую часть:$\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x$.

Поскольку левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ):$\sqrt{2} \cos 3x \ge 0$, что равносильно $\cos 3x \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение, используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.

Тогда $\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|$.Уравнение принимает вид:$|\sin x + \cos x| = \sqrt{2} \cos 3x$.

Рассмотрим знак выражения $\sin x + \cos x$ на заданном промежутке $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$. На этом промежутке, который соответствует III координатной четверти, и $\sin x$, и $\cos x$ отрицательны. Следовательно, их сумма $\sin x + \cos x$ также отрицательна.Поэтому модуль раскрывается со знаком минус:$|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x)$.

Подставляем это в уравнение:$-(\sin x + \cos x) = \sqrt{2} \cos 3x$.

Преобразуем выражение в скобках с помощью формулы введения вспомогательного угла:$\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$.

Уравнение становится:$-\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos 3x$,$-\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \cos 3x$.

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha) = -\sin\alpha$, получим:$\cos(\frac{\pi}{2} + x + \frac{\pi}{4}) = \cos 3x$,$\cos(x + \frac{3\pi}{4}) = \cos 3x$.

Равенство $\cos A = \cos B$ выполняется, если $A = \pm B + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Это приводит к двум сериям решений:1) $x + \frac{3\pi}{4} = 3x + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi n$
$x = \frac{3\pi}{8} - \pi n$. Или, заменив $-n$ на $k$, $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{3\pi}{4} = -(3x) + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$
$4x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$
$x = -\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi m}{2}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $(\pi; \frac{3\pi}{2})$.Для первой серии $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$:При $k=1$: $x = \frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{11\pi}{8}$. Проверим принадлежность промежутку: $\pi < \frac{11\pi}{8} < \frac{3\pi}{2} \iff 1 < \frac{11}{8} < 1.5 \iff 1 < 1.375 < 1.5$. Верно.

Для второй серии $x = -\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi m}{2}$:При $m=3$: $x = -\frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{2} = \frac{-3\pi+24\pi}{16} = \frac{21\pi}{16}$. Проверим принадлежность промежутку: $\pi < \frac{21\pi}{16} < \frac{3\pi}{2} \iff 1 < \frac{21}{16} < 1.5 \iff 1 < 1.3125 < 1.5$. Верно.При других целых значениях $k$ и $m$ корни не попадают в заданный промежуток.

Осталось проверить найденные корни $x_1 = \frac{11\pi}{8}$ и $x_2 = \frac{21\pi}{16}$ на соответствие условию ОДЗ: $\cos 3x \ge 0$.Для $x_1 = \frac{11\pi}{8}$:$3x_1 = 3 \cdot \frac{11\pi}{8} = \frac{33\pi}{8} = 4\pi + \frac{\pi}{8}$.$\cos(3x_1) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$. Так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, то $\cos(\frac{\pi}{8}) > 0$. Условие выполнено.

Для $x_2 = \frac{21\pi}{16}$:$3x_2 = 3 \cdot \frac{21\pi}{16} = \frac{63\pi}{16}$.Сравним с границами квадрантов: $\frac{7\pi}{2} = \frac{56\pi}{16}$ и $4\pi = \frac{64\pi}{16}$.Так как $\frac{7\pi}{2} < \frac{63\pi}{16} < 4\pi$, угол $3x_2$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Значит, $\cos(\frac{63\pi}{16}) > 0$. Условие выполнено.

Оба найденных корня удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: $\frac{11\pi}{8}; \frac{21\pi}{16}$.