Номер 3.25, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 3.25, 3.26 решите уравнения.

3.25.

1) $ \sin^2 6x + 8 \sin^2 3x = 0; $

2) $ \sin^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \cos^2 4x; $

3) $ \sin^8 x + \cos^8 x = \frac{17}{32}; $

4) $ \cos 2x + 4 \sin^4 x = 8 \cos^6 x. $

1) Исходное уравнение: $sin^2 6x + 8 sin^2 3x = 0$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2 sin\alpha cos\alpha$. Для $sin 6x$ это будет:

$sin 6x = sin(2 \cdot 3x) = 2 sin 3x cos 3x$.

Тогда $sin^2 6x = (2 sin 3x cos 3x)^2 = 4 sin^2 3x cos^2 3x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4 sin^2 3x cos^2 3x + 8 sin^2 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $4 sin^2 3x$ за скобки:

$4 sin^2 3x (cos^2 3x + 2) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

a) $sin^2 3x = 0$, что равносильно $sin 3x = 0$.

Решением этого уравнения является $3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

b) $cos^2 3x + 2 = 0$, что равносильно $cos^2 3x = -2$.

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа (включая косинус) не может быть отрицательным. Значение $cos^2 3x$ всегда находится в промежутке $[0, 1]$.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin^2 x + cos^2 2x = sin^2 3x + cos^2 4x$.

Для решения применим формулы понижения степени: $sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2}$ и $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$.

$\frac{1-cos(2x)}{2} + \frac{1+cos(4x)}{2} = \frac{1-cos(6x)}{2} + \frac{1+cos(8x)}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$(1 - cos(2x)) + (1 + cos(4x)) = (1 - cos(6x)) + (1 + cos(8x))$.

$2 - cos(2x) + cos(4x) = 2 - cos(6x) + cos(8x)$.

Вычтем 2 из обеих частей и перегруппируем слагаемые:

$cos(4x) - cos(2x) = cos(8x) - cos(6x)$.

Применим формулу разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2 sin\frac{\alpha+\beta}{2} sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ к обеим частям уравнения.

Для левой части: $cos(4x) - cos(2x) = -2 sin\frac{4x+2x}{2} sin\frac{4x-2x}{2} = -2 sin(3x) sin(x)$.

Для правой части: $cos(8x) - cos(6x) = -2 sin\frac{8x+6x}{2} sin\frac{8x-6x}{2} = -2 sin(7x) sin(x)$.

Получаем уравнение:

$-2 sin(3x) sin(x) = -2 sin(7x) sin(x)$.

$sin(7x)sin(x) - sin(3x)sin(x) = 0$.

$sin(x)(sin(7x) - sin(3x)) = 0$.

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

a) $sin(x) = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

b) $sin(7x) - sin(3x) = 0$. Применим формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2 sin\frac{\alpha-\beta}{2} cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

$2 sin\frac{7x-3x}{2} cos\frac{7x+3x}{2} = 0$.

$2 sin(2x) cos(5x) = 0$.

Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:

b1) $sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

b2) $cos(5x) = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$.

Объединим все решения. Заметим, что серия решений $x = \pi n$ является частным случаем серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (когда $k$ - четное число, $k=2n$). Поэтому достаточно оставить серии $x = \frac{\pi k}{2}$ и $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin^8 x + cos^8 x = \frac{17}{32}$.

Пусть $a = sin^2 x$ и $b = cos^2 x$. Тогда $a+b=1$. Уравнение примет вид $a^4 + b^4 = \frac{17}{32}$.

Выразим $a^4 + b^4$ через $ab$:

$a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = ((a+b)^2 - 2ab)^2 - 2(ab)^2$.

Поскольку $a+b=1$, то $a^4 + b^4 = (1-2ab)^2 - 2(ab)^2 = 1 - 4ab + 4(ab)^2 - 2(ab)^2 = 2(ab)^2 - 4ab + 1$.

Обозначим $y = ab = sin^2 x cos^2 x$. Уравнение становится квадратным относительно $y$:

$2y^2 - 4y + 1 = \frac{17}{32}$.

$2y^2 - 4y + 1 - \frac{17}{32} = 0 \implies 2y^2 - 4y + \frac{15}{32} = 0$.

Умножим на 32: $64y^2 - 128y + 15 = 0$.

Находим корни по формуле: $y = \frac{-(-128) \pm \sqrt{(-128)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 15}}{2 \cdot 64} = \frac{128 \pm \sqrt{16384 - 3840}}{128} = \frac{128 \pm \sqrt{12544}}{128} = \frac{128 \pm 112}{128}$.

$y_1 = \frac{128 + 112}{128} = \frac{240}{128} = \frac{15}{8}$;

$y_2 = \frac{128 - 112}{128} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}$.

Теперь вернемся к переменной $x$. $y = sin^2 x cos^2 x = (sin x cos x)^2 = (\frac{1}{2}sin(2x))^2 = \frac{1}{4}sin^2(2x)$.

Так как $0 \le sin^2(2x) \le 1$, то для $y$ справедливо неравенство $0 \le y \le \frac{1}{4}$.

Проверим наши корни:

a) $y_1 = \frac{15}{8} = 1.875$. Это значение больше, чем $1/4$, поэтому оно не является решением.

b) $y_2 = \frac{1}{8}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le \frac{1}{8} \le \frac{1}{4}$.

Решаем уравнение $\frac{1}{4}sin^2(2x) = \frac{1}{8}$, откуда $sin^2(2x) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Используем формулу понижения степени: $\frac{1-cos(4x)}{2} = \frac{1}{2}$.

$1-cos(4x) = 1 \implies cos(4x) = 0$.

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos 2x + 4 sin^4 x = 8 cos^6 x$.

Выразим все тригонометрические функции через $cos x$.

Используем формулы $cos(2x) = 2cos^2 x - 1$ и $sin^4 x = (sin^2 x)^2 = (1-cos^2 x)^2 = 1 - 2cos^2 x + cos^4 x$.

Подставляем в уравнение:

$(2cos^2 x - 1) + 4(1 - 2cos^2 x + cos^4 x) = 8cos^6 x$.

$2cos^2 x - 1 + 4 - 8cos^2 x + 4cos^4 x = 8cos^6 x$.

$4cos^4 x - 6cos^2 x + 3 = 8cos^6 x$.

Перенесем все члены в одну сторону: $8cos^6 x - 4cos^4 x + 6cos^2 x - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = cos^2 x$. Учитывая, что $0 \le cos^2 x \le 1$, получаем $0 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид: $8t^3 - 4t^2 + 6t - 3 = 0$.

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(8t^3 - 4t^2) + (6t - 3) = 0$.

$4t^2(2t - 1) + 3(2t - 1) = 0$.

$(4t^2 + 3)(2t - 1) = 0$.

Рассмотрим два случая:

a) $4t^2 + 3 = 0 \implies t^2 = -3/4$. Так как $t = cos^2 x$ - действительное и неотрицательное число, то и $t^2$ должно быть неотрицательным. Это уравнение не имеет действительных решений.

b) $2t - 1 = 0 \implies t = 1/2$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.

Производим обратную замену:

$cos^2 x = 1/2$.

Используем формулу понижения степени $\frac{1+cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$.

$1+cos(2x) = 1 \implies cos(2x) = 0$.

Решением этого уравнения является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.